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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 105

Integrações variadas

Calcule as integrais dos Exercícios 69- 116. As integrais estão listadas de maneira aleatória.

Passo 1

Para esta integral, por haver termos semelhantes na função, é possível resolvê-la por integração por substituição simples.

Passo 2

Com isso, pode-se fazer a substituição u = x ,   t a l   q u e   x = u ²   e   2 u d u = d x . Então:

∫ 1 x 1 + x d x = ∫ 2 u u 1 + u 2 d u = 2 ∫ 1 1 + u 2 d u

Passo 3

Nesta parte, deve-se perceber que a integral encontrada tem um valor pré-definido por uma propriedade que diz:

∫ d u u 2 + a 2 = ln ⁡ u + u 2 + a 2 + C ,   t a l   q u e   a = c t e .

Dessa forma, aplicando essa propriedade:

2 ∫ 1 1 + u 2 d u = 2 ln ⁡ u + u 2 + 1 2 + C

Passo 4

Após encontrar o resultado da integral, é necessário refazer as substituições a fim de retornar à variável x . Logo, fazendo u = x :

∫ 1 x 1 + x d x = 2 ln ⁡ x + x 2 + 1 + C

Como x 2 = x , então:

∫ 1 x 1 + x d x = 2 ln ⁡ x + x + 1 + C

Resposta

2 ln ⁡ x + x + 1 + C

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