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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 58

Encontre as integrais nos Exercícios 17-66.

int (d x)/(x sqrt(x^4 - 1))

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = sqrt(x^4 - 1)

Derivando dos dois lados:

d u = (1)/(2 sqrt(x^4 - 1)) * (x^4 - 1)^' d x = (4 x^3)/(2 sqrt(x^4 - 1)) d x

(d u)/(2 x^3) = (d x)/(sqrt(x^4 - 1))

Passo 2

Substituindo na integral:

int (d x)/(x sqrt(x^4 - 1)) = int (1)/(x) (d x)/(sqrt(x^4 - 1)) = int (1)/(x) * (d u)/(2 x^3) = int (d u)/(2 x^4)

Conseguimos substituir o termo d x e sqrt(x^4 - 1) , mas falta substituir o termo x^4 , para isso:

u = sqrt(x^4 - 1) -> u^2 = x^4 - 1 -> x^4 = u^2 + 1

Substituindo na integral:

int (d u)/(2 x^4) = int (d u)/(2 (u^2 + 1)) = (1)/(2) int (d u)/((u^2 + 1))

Calculando a integral:

(1)/(2) int (d u)/((u^2 + 1)) = (arctan u)/(2)

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

(arctan u)/(2) = (arctan sqrt(x^4 - 1))/(2) + C

Protinho!!!

Resposta

(arctan sqrt(x^4 - 1))/(2) + C

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