Use a substituição hiperbólica x = cosh ⁡ u , a identidade senh 2 ⁡ u = 1 2 cosh ⁡ 2 u - 1 e os resultados indicados no Exercício 51 para calcular ∫ x 2 - 1 d x ,x ≥ 1

∫ x 2 - 1 d x = 1 4 sinh ⁡ 2 ( cosh - 1 ⁡ x )- 1 2 cosh - 1 ⁡ x + C

Enunciado

Vamos fazer a substituição, usando:

Vamos agora achar diferencial de , derivando:

Fazendo a substituição ficamos com:

Vamos agora usar a identidade :

Usando agora a outra identidade:

Vamos resolver as duas separadamente.

Com a primeira vamos fazer a substituição, usando:

Vamos agora achar diferencial de , derivando:

Fazendo a substituição ficamos com:

Aqui, vamos fazer para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

Aplicando:

Com a segunda vamos fazer para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

Aplicando:

Agora vamos juntar tudo:

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo: