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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 52

Use a substituição hiperbólica x = cosh ⁡ u , a identidade senh 2 ⁡ u = 1 2 cosh ⁡ 2 u - 1 e os resultados indicados no Exercício 51 para calcular

∫ x 2 - 1 d x ,           x ≥ 1

Passo 1

Vamos fazer a substituição, usando:

x = cosh ⁡ u → u = cosh - 1 ⁡ x

Vamos agora achar diferencial de x , derivando:

d x = sen h ⁡ u d u

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x 2 - 1 d x = ∫ cosh 2 ⁡ u - 1 senh ⁡ u d u

Vamos agora usar a identidade cosh 2 ⁡ u - 1 = senh 2 ⁡ u :

∫ cosh 2 ⁡ u - 1 senh ⁡ u d u = ∫ senh 2 ⁡ u senh ⁡ u d u = ∫ senh ⁡ u senh ⁡ u d u = ∫ senh 2 ⁡ u d u

Usando agora a outra identidade:

∫ senh 2 ⁡ u d u = ∫ 1 2 cosh ⁡ 2 u - 1 d u = 1 2 ∫ cosh ⁡ 2 u - 1 d u =

= 1 2 ∫ cosh ⁡ 2 u d u + 1 2 ∫ - 1 d u

Vamos resolver as duas separadamente.

Passo 2

Com a primeira vamos fazer a substituição, usando:

v = 2 u

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 2 d u

Fazendo a substituição ficamos com:

1 2 ∫ cosh ⁡ 2 u d u = 1 2 ∫ cosh ⁡ v 2 d v = 1 4 ∫ cosh ⁡ v d v

Aqui, vamos fazer para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cosh ⁡ x d x = sinh ⁡ x + C

Aplicando:

1 4 ∫ cosh ⁡ v d v = 1 4 sinh ⁡ v + C

Passo 3

Com a segunda vamos fazer para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c d x = c x + C

Aplicando:

1 2 ∫ - 1 d u = - 1 2 u + C

Passo 4

Agora vamos juntar tudo:

∫ x 2 - 1 d x = 1 2 ∫ cosh ⁡ 2 u d u + 1 2 ∫ - 1 d u = 1 4 sinh ⁡ v - 1 2 u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 2 - 1 d x = 1 4 sinh ⁡ v - 1 2 u + C = 1 4 sinh ⁡ 2 u - 1 2 u + C =

= 1 4 sinh ⁡ 2 ( cosh - 1 ⁡ x )   - 1 2 cosh - 1 ⁡ x + C

Resposta

∫ x 2 - 1 d x = 1 4 sinh ⁡ 2 ( cosh - 1 ⁡ x )   - 1 2 cosh - 1 ⁡ x + C

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