Calcule a integral abaixo:

∫ 24 y y 2 - 16       d y

Passo 1

Vamos aplicar a técnica de integração por substituição . Neste caso, a fim de simplificar nossa raiz, vamos substituir y por uma função de u e que resulte em um dy=f’(u) conveniente que irá possibilitar a integração. Assim temos:

∫ 24 y y 2 - 16       d y

y = 4 u d y = 4   d u

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ 24 y y 2 - 16       d y = 24 ∫ 1 4 u 4 u 2 - 16   4   d u = 24 ∫ 1 u 16 u 2 - 16   d u =

= 24 ∫ 1 4 u u 2 - 1   = 6 ∫ 1 u u 2 - 1   d u

Passo 3

Chegamos em umaa integral que é uma integral direta trigonométrica . Assim, temos que:

6 ∫ 1 u u 2 - 1   d u = 6 sec - 1 ⁡   u + C

Uma dica para esse tipo de questão é se perguntar “qual função eu derivo para obter esse resultado?” . Neste caso a derivada de sec - 1 ⁡ y = 1 y y 2 - 1     , como a integral é a operação inversa da derivada você chega quase de imediato na sua respota.

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

6 sec - 1 ⁡   u + C = 6 sec - 1 ⁡ y 4 + C

Resposta

6 sec - 1 ⁡ y 4 + C

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