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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 2c

2.Calcule:

int_0^1 (3)/(2 x + 1) d x

Passo 1

Essa é uma questão de integral definida, mas lembrando de que antes de fazermos a definida faremos como se fosse indefinida e faremos valor numérico de função, isso que você está pensando, usaremos a matemática do ensino médio. Sem mais enrolação. Vamos lá!

Questão de substituição simples e substituiremos u por 2 x + 1 , mudaremos tudo que tem x para u , olho no lance!

u = 2 x + 1

Lembrando que a nossa intenção é colocar todos os termos da integral como uma função de u , teremos que fazer isso até com o d x . E como faremos isso??? Calma, aplicaremos a derivada dos dois lados, lembra né? Vamos lá:

(u)^' = (2 x + 1) '

d u = 2 d x

Isolando d x , temos :

d x = (d u)/(2)

Passo 2

Agora que temos tudo em função de u , vamos substituir de forma simples, anotando aquilo que já obtemos nas operações anteriores:

d x = (d u)/(2)

u = 2 x + 1

int (3)/(2 x + 1) d x = int (3)/(u) (d u)/(2) = int (3)/(2) (d u)/(u)

Sendo (3)/(2) constante, o colocaremos para fora e calcularemos a primitiva :

int (3)/(2 x + 1) d x = (3)/(2) int u^(- 1) d u

int (3)/(2 x + 1) d x = (3)/(2) ln u + c

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos efetuar a integral! ( u = 2 x + 1 ), temos:

int (3)/(2 x + 1) d x = (3)/(2) ln | 2 x + 1 | + c

Passo 3

Agora, com a primitiva já calculada, usaremos a boa e velha matemática do Ensino Médio, valor numérico de função e faremos a integral definida. Atenção para não errar no último passo, pois mesmo sendo algo já visto, é aqui que alguns camaradas erram!

int_0^1 (3)/(2 x + 1) d x = (3)/(2) ( ln 3 - ln 1 ) = (3)/(2) ( ln 3 - 0 )

int_0^1 (3)/(2 x + 1) d x = (3)/(2) ln 3

Resposta

int_0^1 (3)/(2 x + 1) d x = (3)/(2) ln 3

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Calcule a integralint (x)/((x^2 - 1) sqrt(x^4 - 2 x^2)) d x Fazendo a substituição u = x^2 - 1 .
Calcule a integral ∫ 1 + x - 2 / 3 d x Fazendo a substituição u = 1 + x 2 / 3
1-24. a) Use a Tabela de Integrais para calcular a integral. b) Se o leitor dispuses de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao que foi obtido em a).
1-24. a) Use a Tabela de Integrais para calcular a integral. b) Se o leitor dispuses de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao que foi obtido em a).
1-24. a) Use a Tabela de Integrais para calcular a integral. b) Se o leitor dispuses de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao que foi obtido em a).