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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 11

Calcule a integral

int_1^4 ((ln x)^3)/(2 x) d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int_1^4 ((ln x)^3)/(2 x) d x

A sua integral indefinida é dada por.

int ((ln x)^3)/(2 x) d x

Vamos fazer uma mudança de variáveis. Se chamarmos u = ln x , teremos d u = d x // x . Fazendo esta mudança na integral, obtemos:

int ((ln x)^3)/(2 x) d x = int (u^3)/(2) d u

Passo 3

Vamos resolver a integral indefinida int (u^3)/(2) d u . Temos então:

int (u^3)/(2) d u = (1)/(2) * (u^4)/(4) + k

int (u^3)/(2) d u = (u^4)/(8) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

(u^4)/(8) + k = ((ln x)^4)/(8) + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos tratando de integrais indefinidas!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

int_1^4 ((ln x)^3)/(2 x) d x = ([((ln x)^4)/(8)]|_1^4

int_1^4 ((ln x)^3)/(2 x) d x = ((ln 4)^4)/(8) - ((ln 1)^4)/(8)

int_1^4 ((ln x)^3)/(2 x) d x = ((2 ln 2)^4)/(8) - (0)/(8)

int_1^4 ((ln x)^3)/(2 x) d x = (16 (ln 2)^4)/(8) = 2 (ln 2)^4

Resposta

int_1^4 ((ln x)^3)/(2 x) d x = 2 (ln 2)^4

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