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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 25

Calcule a integral

int (e^r)/(1 + e^r) d r

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int (e^r)/(1 + e^r) d r

Façamos uma mudança de variável. Se chamarmos u = 1 + e^r , consequentemente, teremos d u = e^r d r . Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

int (e^r)/(1 + e^r) d r = int (d u)/(u)

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Resolvendo a nossa integral, temos:

int (d u)/(u) = ln |u| + k

Voltando para a variável inicial, temos:

ln |u| + k = ln |1 + e^r| + k

Portanto, a solução do nosso problema é:

int (e^r)/(1 + e^r) d r = ln |1 + e^r| + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Resposta

int (e^r)/(1 + e^r) d r = ln |1 + e^r| + k

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