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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 21

Calcule a integral

int e^(sec (pi t)) sec (pi t) tg (pi t) d t

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int e^(sec (pi t)) sec (pi t) tg (pi t) d t

Se chamarmos u = sec (pi t) , consequentemente, teremos d u = pi * sec (pi t) * tg (pi t) d t . Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

int e^(sec (pi t)) sec (pi t) tg (pi t) d t = int (e^u)/(pi) d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Resolvendo a nossa integral, temos:

int (e^u)/(pi) d u = (e^u)/(pi) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

(e^u)/(pi) + k = (e^(sec (pi t)))/(pi) + k

Portanto, a solução do nosso problema é:

int e^(sec (pi t)) sec (pi t) tg (pi t) d t = (e^(sec (pi t)))/(pi) + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Resposta

int e^(sec (pi t)) sec (pi t) tg (pi t) d t = (e^(sec (pi t)))/(pi) + k

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