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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 18

Calcule a integral

int (ln x)/(x sqrt(ln^2 x + 1)) d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int (ln x)/(x sqrt(ln^2 x + 1)) d x

Se chamarmos u = ln^2 x + 1 , consequentemente, d u será dado por:

d u = [ln^2 x + 1] '

d u = 2 * ln x * [ ln x ] '

d u = (2 ln x)/(x) d x

Fazendo esta substituição na integral, obtemos:

int (ln x)/(x sqrt(ln^2 x + 1)) d x = int (d u)/(2 sqrt(u)) = int (u^(- 1 // 2))/(2) d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Resolvendo a nossa integral, temos:

int (u^(- 1 // 2))/(2) d u = u^(1 // 2) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

u^(1 // 2) + k = (ln^2 x + 1)^(1 // 2) + k

Portanto, a solução do nosso problema é:

int (ln x)/(x sqrt(ln^2 x + 1)) d x = (ln^2 x + 1)^(1 // 2) + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Resposta

int (ln x)/(x sqrt(ln^2 x + 1)) d x = (ln^2 x + 1)^(1 // 2) + k

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