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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 3

Calcule as integrais iteradas.

∫ 0 1 ∫ y e y x d x   d y

Passo 1

Fala, galera! 😉

A questão pede pra gente calcular essa integral dupla

∫ 0 1 ∫ y e y x d x   d y

Para resolver, vamos começar calculando de dentro pra fora, ou seja, primeiro em d x e depois d y . Moleza, né?

Passo 2

Vamos começar trabalhando com a integral de dentro, vou te mostrar:

∫ 0 1 ∫ y e y x d x   d y =

∫ y e y x d x

Podemos colocar essa raiz como expoente:

∫ y e y x 1 2 d x

x 3 2 3 2 y e y  

Como temos uma divisão de frações, invertemos o denominador e multiplicamos

2 x 3 2 3 y e y  

Substituindo pelos limites de integração:

2 ( e y ) 3 2 3 - 2 y 3 2 3

Colocando em evidência:

2 3 ( e 3 y 2 - y 3 2 )  

Passo 3

Agora é só resolver a integral de fora, em relação a y :

∫ 0 1 2 3 e 3 y 2 - y 3 2   d y

Colocando a fração para fora da integral como se fosse uma constante:

2 3 ∫ 0 1 e 3 y 2 - y 3 2   d y

2 3 e 3 y 2 3 2 - y 5 / 2 5 2 0 1

Como temos uma divisão de frações, invertemos o denominador e multiplicamos

2 3 2 3 ⋅ e 3 y 2 - 2 5 ⋅ y 5 2 0 1

Substituindo pelos limites de integração:

2 3 2 3 ⋅ e 3 2 - 2 5 ⋅ 1 5 2 - 2 3 ⋅ e 0 2 - 2 5 ⋅ 0 5 2

2 3 2 3 e 3 / 2 - 2 5 - 2 3 e 0 + 0

Assim, chegaremos a

4 9 e 3 / 2 - 32 45

Resposta

4 9 e 3 / 2 - 32 45

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