Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 15.3 - Ex. 20
Determine o volume do sólido dado.
Abaixo do paraboloide e acima da região delimitada por e .
Passo 1
Fala, moçada! Como estão?
A questão pede pra gente achar o volume do sólido acima de:
e
E abaixo de:
Para achar o volume de um sólido abaixo de uma função aplicamos a integral:
Para esse tipo de questão, vale analisarmos o diagrama da região plana no plano acima do qual o sólido se encontra. Esse plano é onde está a região , e como nossa integral dupla é em , é do gráfico do plano que vamos tirar os limites de integração para finalmente resolver a questão.
Nossa função é a função que limita superiormente nosso sólido, e que o próprio enunciado já disse que o sólido está baixo dela:
Depois, podemos resolver a integral dupla em relação a e a , usando a ordem que tornar a integral mais fácil. Daí é só resolvermos a integral dupla como uma integral iterada. Uma integral iterada é uma integral calculada sequencialmente, uma após a outra. Para resolver integrais duplas a gente começa “de dentro pra fora”.
Bora lá?
Passo 2
Pra começar, galera, vamos olhar região de integração. Pra isso, basta pegar tudo no plano . Para a equação do paraboloide:
Portanto a interseção do plano com o paraboloide é a origem. Agora para as outras curvas do enunciado, na interseção com o plano , elas serão:
A região então é:
Podemos escrevê-la como uma região do tipo II, onde o intervalo de está limitado por duas funções e o de está limitado entre duas constantes.
Para definir o intervalo de , já vimos que o valor de uma interseção das duas curvas é
(ponto marcado em azul). O outro valor do intervalo de podemos achar vendo em qual outro valor de as duas curvas se cruzam de novo (ponto verde).
Para que achemos as intersecções, neste caso, vamos substituir em
Então os pontos de intersecção são e e podemos escrever como
Para os intervalos de é só vermos que a região parte de:
E para em:
Então:
Passo 3
Temos então que o volume do solido que é restrito abaixo de na região é dado por
Como temos termos que dependem de nos limites de integração de , a integral de fica “por dentro”, para facilitar os cálculos.
Agora vamos integrar, primeiro em
Aplicando os limites de integração:
Resolvendo as operações:
Agora em relação a :
Aplicando os limites de integração:
Por fim, ficamos com: