Determine o volume do sólido dado.19.Abaixo do paraboloide z = x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x 2 e x = y 2

Enunciado

Fala, gente. Tudo show?

A questão quer o volume do sólido através de informações sobre um paraboloide e regiões delimitadas por e

A região D que iremos calcular é a intersecção que aparece no gráfico abaixo

Podemos escrevê-la como uma região do Tipo I ou Tipo II.

Lembra que, no Tipo I, é como se nossa região fizesse uma “sombra” no eixo . Já no tipo II, a “sombra” é no eixo .

Vamos escolher ela como do Tipo I, show?

Isolando uma das variáveis em uma das equações dadas, vamos utilizar e isolar na equação

Substituindo na outra equação

Como só assume valores positivos

Elevando os dois lados ao quadrado temos

Temos então que

Substituindo em para encontrar os pontos

Então os pontos de intersecção são e e podemos escrever a como

Ou seja, com isso encontramos os limites de integração.

Temos que o volume do sólido , restrito abaixo de na região , é dado por

Observe que, como estamos numa região Tipo I, faremos uma integral .

Agora vamos calcular a integral de dentro, primeiro em relação a

Substituindo os limites de integração:

Agora integrando em relação a

Pela divisão de frações, invertemos o denominador e multiplicamos.

Fazendo o M.M.C. por termos denominadores diferentes na soma de frações,