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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 17

Calcule a integral dupla.

∬_D^() x cos y d A , D é l i m i t a d a p o r y = 0 , y = x^2 , x = 1

Passo 1

Galera, primeiro vamos escrever a integral dupla na seguinte forma:

int_0^1 int_0^(x^2) x cos y d y d x

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

int_0^1 (int_0^(x^2) x cos y d y) d x = int_0^1 ([x s e n y]_0^(x^2)) d x = int_0^1 (x s e n (x^2) - x s e n 0) d x = int_0^1 x s e n ( x^2 ) d x

Passo 2

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

int_0^1 x s e n ( x^2 ) d x = [- (cos ( x^2 ))/(2)]_0^1 = (1)/(2) (- cos (1^2) + cos (0^2)) = (1)/(2) (- cos 1 + 1) = (1 - cos 1)/(2)

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Resposta

(1 - cos 1)/(2)

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7. Calcular ∬_R^() sen x sen y d x d y , onde R é o retângulo 0 = x = (pi)/(2) e 0 = y = (pi)/(2) .
19. Sejam p(x) e q(y) funções contínuas. Se R é o retângulo a , b ×[ a , d ] , verificar que ∬ p x q ( y ) d x d y = ∫ a b p ( x ) ⋅ ∫ c d q ( y ) d y
14. Calcular ∬_R^() e^(- x^2) d x d y , sendo R a região delimitada por x = 4 y ; y = 0 e x = 4 .
18. Calcular ∬_R^() y d x d y , sendo R a região delimitada por x = 0 , x = y^2 + 1 , y = 2 e y = - 2 .
16. Calcular ∬_R^() 2 y d x d y , sendo R a região delimitada por y = x^2 e y = 3 x - 2