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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 18

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   1 + x 2 + y 2   d S

S é o helicoide com equação vetorial

r u ,   v = u cos ⁡ v i + u �� s e n   v   j + v   k   ,     0 ≤ u ≤ 1   ,     0 ≤ v ≤ π

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo certo?

A questão pede a integral de superfície:

∫ ∫ S   1 + x 2 + y 2   d S

S é o helicoide com equação vetorial

r u ,   v = u cos ⁡ v i + u   s e n   v   j + v   k  

    0 ≤ u ≤ 1  

    0 ≤ v ≤ π

Podemos usar a equação para achar o valor da integral de superfície:

∬ S f ( x , y , z )   d S =   ∬ D f r u , v | r → u × r → v | d A

Então, não vamos precisar achar uma parametrização para x , y e z pois o enunciado já nos deu através do vetor r u ,   v . Vamos precisar aplicar essas equações parametrizadas na nossa função do integrando:

f x , y , z = 1 + x 2 + y 2

Depois vamos derivar esses parâmetros para conseguirmos os vetores r → u e r → v e fazermos o produto vetorial entre eles. Calculamos pelas equações:

r → u = ∂ x ∂ u ,   ∂ y ∂ u ,   ∂ z ∂ u

E:

r → v = ∂ x ∂ v ,   ∂ y ∂ v ,   ∂ z ∂ v

Daí, é só substituirmos tudo isso na nossa equação, achar os limites de integração e resolver nossa integral!

Vamos lá!

Passo 2

Pessoal, vamos começar calculando os vetores r → t e r → z :

Vamos achar nossas equações paramétricas do vetor r ( u , v ) :

r u ,   v = u cos ⁡ v i + u   s e n   v   j + v   k  

Então:

x = u cos ⁡ v

y = u   s e n   v  

z = v  

  • r → u : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:

    • r → u = ∂ x ∂ u ,   ∂ y ∂ u ,   ∂ z ∂ u   = ∂ u cos ⁡ v   ∂ u ,   ∂ u   s e n   v   ∂ u ,   ∂ v ∂ u

    Derivando cada uma dessas funções em relação a u , tratando v como constante:

    r → u = ∂ u cos ⁡ v   ∂ u ,   ∂ u   s e n   v   ∂ u ,   ∂ v ∂ u = cos ⁡ v   i + s e n   v   j + 0   k

  • r → v : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:

r → v = ∂ x ∂ v ,   ∂ y ∂ v ,   ∂ z ∂ v   = ∂ u cos ⁡ v   ∂ v ,   ∂ u   s e n   v   ∂ v ,   ∂ v ∂ v

Derivando cada uma dessas funções em relação a v , tratando u como constante:

r → v = ∂ u cos ⁡ v   ∂ v ,   ∂ u   s e n   v   ∂ v ,   ∂ v ∂ v = - u   s e n   v   i + u cos ⁡ v j + k

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial:

r → u × r → v = i ^ j ^ k ^ cos ⁡ v   s e n   v 0 - u   s e n   v u cos ⁡ v 1

Para cada componente i , j e k , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:

r u × r v = s e n   v   i - cos ⁡ v j + u   k

Agora, podemos tirar o módulo r → u × r → v desse nosso vetor:

r u × r v = x 2 + y 2 + z 2  

Substituindo:

r u × r v = s e n 2   v + cos 2 ⁡ v + u 2 = 1 + u 2

Passo 4

Assim, podemos escrever a integral:

∫ ∫ S   1 + x 2 + y 2   d S = ∫ 0 π ∫ 0 1 1 + u 2 cos 2 ⁡ v + u 2   s e n 2   v     1 + u 2   d u   d v

Simplificando o integrando temos que:

∫ 0 π ∫ 0 1 1 + u 2   d u   d v

Show! Agora vamos resolver a integral:

∫ 0 π ∫ 0 1 1 + u 2   d u   d v = ∫ 0 π d v ∫ 0 1 1 + u 2   d u  

Integrando cada uma das integrais:

∫ 0 π d v ∫ 0 1 1 + u 2   d u = v 0 π u + u 3 3 0 1

Aplicando os limites de integração:

= 4 π 3  

Resposta

4 π 3

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Calcule a massa da superfície σ dada, com função densidade superficial de massa f ( x , y , z ) dada: c )f x , y , z = 2 e σ u , v = u , v ,1 - u 2 ,0 ≤ u ≤ 1 ,0 ≤ v ≤ 1 .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: f )f x , y , z = x y ;σ é a interseção do paraboloide z = x 2 + y 2 com o conjunto x 2 + y 2 ≤ 2 x ,y ≥ 0 .
Calcule a massa da superfície σ dada, com função densidade superficial de massa f ( x , y , z ) dada: f x , y , z = z e σ é a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,z ≥ 0 .
Calcule a massa da superfície σ dada, com função densidade superficial de massa f ( x , y , z ) dada: b )f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 e σ é a superfície z 2 = x 2 + y 2 ,1 ≤ z ≤ 2 .
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