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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 19

Calcule as integrais. Talvez seja necessário fazer substituição primeiro.

Passo 1

Perceba que não vamos precisar utilizar nenhuma substituição.

Então, podemos aplicar as frações parciais para resolver a integral. Como o grau do polinômio do denominador é maior que o do numerador, que tem grau zero, primeiro, vamos decompor o polinômio denominador.

Ou seja,

t 4 + 4 t 2 + 3 = t 2 + 1 t 2 + 3  

Então,

1 t 4 + 4 t 2 + 3 = 1 t 2 + 1 t 2 + 3 =     A t 2 + 1   + B t 2 + 3  

Passo 2

Calculando o mmc, ficamos com

1 t 2 + 1 t 2 + 3 =     A     t 2 + 3 + B ( t 2 + 1   )   t 2 + 1 t 2 + 3    

Passo 3

Como os denominadores são iguais,

A     t 2 + 3 + B t 2 + 1   =   1  

Juntando os coeficientes de mesmo grau,

t 2 A + B + 3 A + B =   1

Passo 4

Igualando os coeficientes do polinômio, temos que

A + B = 0   3 A + B = 1

Subtraindo a primeira da segunda temos que

2 A = 1 → A = 1 2

E substituindo na primeira

B = - 1 2

Passo 5

Sendo assim,

∫ d t t 4 + 4 t 2 + 3 = ∫ 1 / 2 t 2 + 1   + - 1 / 2 t 2 + 3 d t = 1 2 ∫ d t t 2 + 1     - 1 2 ∫ d t t 2 + 3

Resolvendo as integrais (usando a tabela)

1 2 ∫ d t t 2 + 3 = 1 2 ∫ d t t 2 + 3 2 = 1 2 3 a r c t g   t 3

Já a segunda

1 2 ∫ d t t 2 + 1   = 1 2   a r c t g t

Passo 6

Substituindo,

∫ d t t 4 + 4 t 2 + 3 =   1 2 3 a r c t g   t 3 + 1 2   a r c t g t + C

E não esquece da constanteeee C!

Resposta

∫ d t t 4 + 4 t 2 + 3 =   1 2 3 a r c t g   t 3 + 1 2   a r c t g t + C

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