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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 4

Calcule:

int (2 x + 1)/(x^2 - 1) d x

Passo 1

Para resolvermos essa questão usaremos o seguinte teorema e, também, método de resolução de integrais, muito conhecido como Frações Parciais:

Sejam alpha , beta , m e n reais dados, com alpha != beta . Então existem constantes A e B tais que:

a ) (m x + n)/(( x - alpha ) ( x - beta )) = (A)/(( x - alpha )) + (B)/(( x - beta )) ;

b ) (m x + n)/((x - alpha)^2) = (A)/(( x - alpha )) + (B)/((x - alpha)^2) .

Atenção: o Teorema só é válido para quando o grau do numerador é MENOR do que o grau do denominador!!!

Para resolver nossa questão, precisaremos lembrar de uma grande técnica algébrica que vai nos ajudar MUITO em questões que envolvam integrais que é a seguinte:

a^2 - b^2 = (a + b) ( a - b )

Portanto, como temos x^2 - 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 ) .

Então, nossa integral pode ser reescrita como:

int (2 x + 1)/(x^2 - 1) d x = int (2 x + 1)/(( x + 1 ) ( x - 1 )) d x

Agora, podemos aplicar o teorema:

(2 x + 1)/((x + 1) (x - 1)) = (A)/(( x + 1 )) + (B)/(( x - 1 ))

Aplicando o MMC, passamos a ter:

(2 x + 1)/((x + 1) (x - 1)) = (A (x - 1) + B ( x + 1 ))/(( x + 1 ) ( x - 1 ))

Como temos uma igualdade com denominadores iguais, vamos analisar, por comparação, apenas os numeradores:

2 x + 1 = A (x - 1) + B ( x + 1 )

Vamos ditar valores para x para que consigamos zerar uma constante e trabalhar com apenas uma incógnita:

Para x = 1 :

2 B = 3

B = (3)/(2)

Para x = - 1 :

- 2 A = - 1

A = (1)/(2)

Então, por fim, podemos reescrever nossa integral final como sendo:

int (2 x + 1)/(x^2 - 1) d x = int (1)/(2 ( x + 1 )) d x + int (3)/(2 ( x - 1 )) d x

Passo 2

Vamos resolver separadamente as integrais:

E q . 1 = int (1)/(2 ( x + 1 )) d x

E q . 2 = int (3)/(2 ( x - 1 )) d x

Lembrando:

int (1)/(m x + n) d x = (1)/(m) l n | m x + n |

Será resolvida da seguinte forma a Eq.1:

int (1)/(2 ( x + 1 )) d x = (1)/(2) int (1)/(( x + 1 )) d x

int (1)/(2 ( x + 1 )) d x = (1)/(2) ln |x + 1| + C_1

Agora, vamos resolver nossa Eq.2:

int (3)/(2 ( x - 1 )) d x = (1)/(2) int (3)/(( x - 1 )) d x

int (3)/(2 ( x - 1 )) d x = (3)/(2) ln |x - 1| + C_2

Vamos somar Eq.1+Eq.2 para obter nossa solução:

E q . 1 + E q . 2 = (1)/(2) ln |x + 1| + C_1 + (3)/(2) ln |x - 1| + C_2

Vamos adotar: C_1 + C_2 = C , sendo C uma constante real.

Logo, por fim:

int (2 x + 1)/(x^2 - 1) d x = (1)/(2) ( 3 ln |x - 1| + ln |x + 1| ) + C

Resposta

int (2 x + 1)/(x^2 - 1) d x = (1)/(2) ( 3 ln |x - 1| + ln |x + 1| ) + C

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