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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 3

Calcule:

int (x)/(x^2 - 4) d x

Passo 1

Para resolvermos essa questão usaremos o seguinte teorema e, também, método de resolução de integrais, muito conhecido como Frações Parciais:

Sejam alpha , beta , m e n reais dados, com alpha != beta . Então existem constantes A e B tais que:

a ) (m x + n)/(( x - alpha ) ( x - beta )) = (A)/(( x - alpha )) + (B)/(( x - beta )) ;

b ) (m x + n)/((x - alpha)^2) = (A)/(( x - alpha )) + (B)/((x - alpha)^2) .

Atenção: o Teorema só é válido para quando o grau do numerador é MENOR do que o grau do denominador!!!

Para resolver nossa questão, precisaremos lembrar de uma grande técnica algébrica que vai nos ajudar MUITO em questões que envolvam integrais que é a seguinte:

a^2 - b^2 = (a + b) ( a - b )

Portanto, como temos x^2 - 4 = ( x + 2 ) ( x - 2 ) .

Então, nossa integral pode ser reescrita como:

int (x)/(x^2 - 4) d x = int (x)/(( x + 2 ) ( x - 2 )) d x

Agora, podemos aplicar o teorema:

(x)/((x + 2) (x - 2)) = (A)/(( x + 2 )) + (B)/(( x - 2 ))

Aplicando o MMC, passamos a ter:

(x)/((x + 2) (x - 2)) = (A (x - 2) + B ( x + 2 ))/(( x + 2 ) ( x - 2 ))

Como temos uma igualdade com denominadores iguais, vamos analisar, por comparação, apenas os numeradores:

x = A (x - 2) + B ( x + 2 )

Vamos ditar valores para x para que consigamos zerar uma constante e trabalhar com apenas uma incógnita:

Para x = 2 :

4 B = 2

B = (1)/(2)

Para x = - 2 :

- 4 A = - 2

A = (1)/(2)

Então, por fim, podemos reescrever nossa integral final como sendo:

int (1)/(x^2 - 4) d x = int (1)/(2 ( x + 2 )) d x + int (1)/(2 ( x - 2 )) d x

Passo 2

Vamos resolver separadamente as integrais:

E q . 1 = int (1)/(2 ( x + 2 )) d x

E q . 2 = int (1)/(2 ( x - 2 )) d x

Lembrando:

int (1)/(m x + n) d x = (1)/(m) l n | m x + n |

Será resolvida da seguinte forma a Eq.1:

int (1)/(2 ( x + 2 )) d x = (1)/(2) int (1)/(( x + 2 )) d x

int (1)/(2 ( x + 2 )) d x = (1)/(2) ln |x + 2| + C_1

Agora, vamos resolver nossa Eq.2:

int (1)/(2 ( x - 2 )) d x = (1)/(2) int (1)/(( x - 2 )) d x

int (1)/(2 ( x - 2 )) d x = (1)/(2) ln |x - 2| + C_2

Vamos somar Eq.1+Eq.2 para obter nossa solução:

E q . 1 + E q . 2 = (1)/(2) ln |x + 2| + C_1 + (1)/(2) ln |x - 2| + C_2

Vamos adotar: C_1 + C_2 = C , sendo C uma constante real.

Logo, por fim:

int (1)/(x^2 - 4) d x = (1)/(2) ( ln |x - 2| + ln |x + 2| ) + C

Resposta

int (1)/(x^2 - 4) d x = (1)/(2) ( ln |x - 2| + ln |x + 2| ) + C

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