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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 26

Calcule as integrais. Talvez seja necessário fazer substituição primeiro.

Passo 1

Perceba que vamos precisar utilizar uma substituição.

Vamos tomar u =   x 3 ⟹   d u = d x 3 x 2 3     ⟹ d x =   3 u 2 d u     e x = u 3

∫ d x x ( 1 + x 3 ) = ∫ 3 u 2 d u u 3 1 + u       = ∫ 3 d u u 1 + u  

Passo 2

Então, podemos aplicar as frações parciais para resolver a integral. Como o grau do polinômio do denominador é maior que o do numerador, que tem grau zero. Como o denominador já esta decomposto, resta então aplicar o método.  

Então,

3 u 1 + u =     A u + B 1 + u  

Calculando o mmc, ficamos com

3 u 1 + u =     A     1 + u + B u   u 1 + u    

Passo 3

Como os denominadores são iguais,

A     u + 1 + B u   =   3  

Juntando os coeficientes de mesmo grau,

u A + B + A   =   3

Passo 4

Igualando os coeficientes do polinômio, temos que

A = 3   e B =   - 3

Passo 5

Sendo assim,

∫ 3 d u u 1 + u   = ∫   [     3 u - 3 1 + u ]   d u = 3 ∫ 1 u d u   - 3 ∫ 1 u + 1   d u

Resolvendo as integrais (usando a tabela)

  • 3 ∫ 1 u d u =   3 ln ⁡ u
  • 3 ∫ 1 u + 1   d u = 3   l n ⁡ | u + 1 |

Passo 6

Substituindo,

∫ 3 d u u 1 + u   = 3 ∫ 1 u d u   - 3 ∫ 1 u + 1   d u = 3 ln ⁡ u -   3 ln ⁡ u + 1 + C      

Passo 7

Retornando à nossa substituição,

∫ d x x ( 1 + x 3 ) = 3 ln ⁡ u -   3 ln ⁡ u + 1 + C = 3 ln ⁡ x 3 - 3 ln ⁡ x 3 + C    

Resposta

∫ d x x ( 1 + x 3 ) =     3 ln ⁡ x 3 - 3 ln ⁡ x 3 + C    

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