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∫ x 3 + 4 x 2 + 6 x + 1 x 3 + x 2 + x - 3 d x

Passo 1

Temos que calcular a integral

∫ x 3 + 4 x 2 + 6 x + 1 x 3 + x 2 + x - 3 d x

O primeiro passo é dividir os polinomios

x 3 + 4 x 2 + 6 x + 1 x 3 + x 2 + x - 3 = x 3 + x 2 + x - 3 + 3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 - 3 = 1 + 3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 + x - 3

Aí a nossa integral fica

∫ 1 + 3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 + x - 3 d x = ∫ d x + ∫ 3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 + x - 3 d x

A primeira integral é tranquila, né? Fica assim

∫ d x = x

Já a segunda vai dar mais trabalho. Primeiro temos que trabalhar um pouco nela. Agora temos que fatorar o denominador

x 3 + x 2 + x - 3

Bem, não tem uma regra para achar as raízes de um polinômio do terceiro grau. Nesse caso aqui, uma das raízes é 1 ! Como eu sei disso? Eu chutei hahaha. Bons candidatos pra casos como esse são 1 e - 1 :)

Então esse polinômio no denominador pode ser escrito da seguinte maneira

x - 1 a x 2 + b x + c

Expandindo vamos ter

a x 3 + b x 2 + c x - a x 2 - b x - c = a x 3 + b - a x 2 + c - b x - c

Comparando com x 2 + x 2 + x - 3 , vamos ter:

- o termo independente

- c = - 3 → c = 3

- o termo x 1

c - b = 1 → 3 - b = 1 → b = 2

- e o termo x 3

a = 1

Então vamos ter

x 3 + x 2 + x - 3 = x - 1 x 2 + 2 x + 3

E o polinômio do segundo grau acima tem discriminante Δ = 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = - 8 < 0 , ou seja, esse cara não tem raízes reais, então não dá pra reduzir mais o grau.

A nossa integral vai ficar

x + ∫ 3 x 2 + 5 x + 4 x - 1 x 2 + 2 x + 3 d x

Passo 2

Agora temos que fazer as frações parciais

3 x 2 + 5 x + 4 ( x - 1 ) ( x 2 + 2 x + 3 ) = a 0 x - 1 + a 2 x + a 1 x 2 + 2 x + 3

Passando o denominador da esquerda pra multiplicar o lado direito

3 x 2 + 5 x + 4 = a 0 ( x 2 + 2 x + 3 ) + a 2 x + a 1 x - 1

Se x = 1

3 + 5 + 4 = a 0 1 + 2 + 3 + a 2 1 + a 1 1 - 1

12 = a 0 6 + 0 a 0 = 2

Para o segundo temo temos que expandir a conta então

3 x 2 + 5 x + 4 = 2 ( x 2 + 2 x + 3 ) + a 2 x 2 - a 2 x + a 1 x - a 1

x 2 + x - 2 = a 2 x 2 + a 1 - a 2 x - a 1

Agora igualando os coeficientes

a 2 = 1

- a 1 = - 2 → a 1 = 2

Passo 3

Logo ficamos com

x + ∫ x + 2 x 2 + 2 x + 3 + 2 x - 1 d x

Para o segundo termo termo vamos fazer a segunte substituição

x 2 + 2 x + 3 - 2 + 2 = x + 1 2 + 2

u = x + 1

d u = d x

∫ x + 2 x 2 + 2 x + 4 d x = ∫ x + 2 x + 1 2 + 2 d x = ∫ u + 1 u 2 + 2 d u = ∫ u u 2 + 2 d u + ∫ 1 u 2 + 2 d u

Na primeira integral vamos fazer outra substituição

u 2 + 2 = y

d y 2 = u   d u

Logo ficamos com

∫ u u 2 + 2 d u = ∫ 1 2 y d y = 1 2 ln ⁡ y = 1 2 ln ⁡ ( u 2 + 2 ) = 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + 2

∫ u u 2 + 2 d u = 1 2 ln ⁡ x 2 + 2 x + 3

Passo 4

Na segunda, vamos rescrever u 2 + 2 = 2 u 2 2 + 1 , assim

∫ d u u 2 + 2 = 1 2 ∫ d u u 2 2 + 1

Agora usaremos uma substituição trigonométrica

u 2 = t g   θ

d u   = 2     sec 2 ⁡ θ   d θ

Portanto ficamos com

2 2 ∫ sec 2 ⁡ θ t g   θ 2 + 1 d θ = 2 2 ∫ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = 2 2   θ

Desfazendo a substituição

a r c   t g u 2 =   θ

E u = x + 1

Temos que

1 2 ∫ 1 u 2 2 + 1 d u = 2 2   a r c   t g x + 1 2

Juntando as duas integrais temos

∫ x + 2 x 2 + 2 x + 3 d x = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 2 x + 3 ) - 2 2   a r c   t g x + 1 2

Passo 5

Por ultimo temos

∫ 2 x - 1 d x

Podemos fazer a seguinte substituição

x - 1 = v

d v = d x

Ficamos com

∫ 2 x - 1 d x = 2 ∫ 1 v d v = ln ⁡ v = 2 ln ⁡ ( x - 1 )

Passo 6

Basta juntar tudo para se obter a resposta

∫ x 3 + 4 x 2 + 6 x + 1 x 3 + x 2 + x - 3 d x = x + 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 2 x + 3 ) - 2 2   a r c   t g x + 1 2 + 2 ln ⁡ ( x - 1 ) + C

Resposta

∫ x 3 + 4 x 2 + 6 x + 1 x 3 + x 2 + x - 3 d x = x + 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 2 x + 3 ) - 2 2   a r c   t g x + 1 2 + 2 ln ⁡ ( x - 1 ) + C

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