Calcule
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado quer que a gente calcule a integral:
Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador, a gente vai precisar fazer um divisão de polinômios aqui. Depois, vamos decompor o nosso resultado em frações parciais, pra conseguir integrar mais facilmente cada uma dessas frações.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar dividindo os polinômios:
Aí a nossa integral fica
A primeira integral é tranquila, né? Fica assim
Já a segunda vai dar mais trabalho. Primeiro temos que trabalhar um pouco nela. Agora temos que fatorar o denominador:
Passo 3
Bem, não tem uma regra para achar as raízes de um polinômio do terceiro grau. Nesse caso aqui, uma das raízes é ! Como eu sei disso? Eu chutei hahaha. Bons candidatos pra casos como esse são e :)
Então esse polinômio no denominador pode ser escrito da seguinte maneira
Expandindo, vamos ter:
Comparando com , vamos ter:
- o termo independente:
- o termo :
- e o termo :
Então, vamos ter:
E o polinômio do segundo grau acima tem discriminante , ou seja, esse cara não tem raízes reais, então não dá pra reduzir mais o grau.
Assim, a nossa integral vai ficar:
Passo 4
Agora temos que recorrer as frações parciais. Então, decompondo nossa função na segunda integral, vamos ter:
Multiplicando os dois lados por , temos:
Se , teremos:
Substituindo e expandindo a nossa equação, vamos ter:
Simplificando os termos semelhantes:
Agora igualando os coeficientes, temos:
e
Logo,
Passo 5
Substituindo esses coeficientes na integral, vamos ficar com:
A gente pode separar em duas integrais:
Para a primeira integral, vamos completar o quadrado no denominador:
Assim, a gente pode fazer a substituição:
Então, nossa integral vai ficar:
Separando essa fração em duas integrais:
Na primeira integral vamos fazer outra substituição:
Assim, ficamos com:
E integrando em relação a , temos:
Voltando pra variável :
E finalmente, voltando pra variável , temos:
Então, o resultado dessa integral é:
Passo 6
Pra resolver nossa próxima integral, vamos rescrever . Assim, vamos ter:
A partir disso, a gente pode usar uma substituição trigonométrica:
Então, ficamos com:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
E simplificando:
Agora voltando pra variável , vamos ter:
E . Então, temos que:
Então, juntando as duas integrais, temos:
Passo 7
Por último, temos a integral:
Aqui, nós podemos fazer a seguinte substituição:
Assim, ficamos com:
E integrando em relação a , temos:
Agora voltando pra variável , ficamos com:
Passo 8
Agora basta juntar tudo para gente obter nossa resposta final:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉