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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.7 - Ex. 7

Calcule

int (x^3 + 4 x^2 + 6 x + 1)/(x^3 + x^2 + x - 3) d x

Passo 1

Temos que calcular a integral

int (x^3 + 4 x^2 + 6 x + 1)/(x^3 + x^2 + x - 3) d x

O primeiro passo é dividir os polinomios

(x^3 + 4 x^2 + 6 x + 1)/(x^3 + x^2 + x - 3) = ((x^3 + x^2 + x - 3) + 3 x^2 + 5 x + 4)/(x^3 + x^2 - 3) = 1 + (3 x^2 + 5 x + 4)/(x^3 + x^2 + x - 3)

Aí a nossa integral fica

int 1 + (3 x^2 + 5 x + 4)/(x^3 + x^2 + x - 3) d x = int d x + int (3 x^2 + 5 x + 4)/(x^3 + x^2 + x - 3) d x

A primeira integral é tranquila, né? Fica assim

int d x = x

Já a segunda vai dar mais trabalho. Primeiro temos que trabalhar um pouco nela. Agora temos que fatorar o denominador

x^3 + x^2 + x - 3

Bem, não tem uma regra para achar as raízes de um polinômio do terceiro grau. Nesse caso aqui, uma das raízes é 1 ! Como eu sei disso? Eu chutei hahaha. Bons candidatos pra casos como esse são 1 e - 1 :)

Então esse polinômio no denominador pode ser escrito da seguinte maneira

(x - 1) (a x^2 + b x + c)

Expandindo vamos ter

a x^3 + b x^2 + c x - a x^2 - b x - c = a x^3 + (b - a) x^2 + (c - b) x - c

Comparando com x^2 + x^2 + x - 3 , vamos ter:

- o termo independente

- c = - 3 -> c = 3

- o termo x^1

c - b = 1 -> 3 - b = 1 -> b = 2

- e o termo x^3

a = 1

Então vamos ter

x^3 + x^2 + x - 3 = (x - 1) (x^2 + 2 x + 3)

E o polinômio do segundo grau acima tem discriminante Delta = 2^2 - 4 * 1 * 3 = - 8 < 0 , ou seja, esse cara não tem raízes reais, então não dá pra reduzir mais o grau.

A nossa integral vai ficar

x + int (3 x^2 + 5 x + 4)/((x - 1) (x^2 + 2 x + 3)) d x

Passo 2

Agora temos que fazer as frações parciais

(3 x^2 + 5 x + 4)/(( x - 1 ) ( x^2 + 2 x + 3 )) = (a_0)/(x - 1) + (a_2 x + a_1)/(x^2 + 2 x + 3)

Passando o denominador da esquerda pra multiplicar o lado direito

3 x^2 + 5 x + 4 = a_0 ( x^2 + 2 x + 3 ) + (a_2 x + a_1) (x - 1)

Se x = 1

3 + 5 + 4 = a_0 (1 + 2 + 3) + (a_2 1 + a_1) (1 - 1)

12 = a_0 6 + 0 a_0 = 2

Para o segundo temo temos que expandir a conta então

3 x^2 + 5 x + 4 = 2 ( x^2 + 2 x + 3 ) + a_2 x^2 - a_2 x + a_1 x - a_1

x^2 + x - 2 = a_2 x^2 + (a_1 - a_2) x - a_1

Agora igualando os coeficientes

a_2 = 1

- a_1 = - 2 -> a_1 = 2

Passo 3

Logo ficamos com

x + int (x + 2)/(x^2 + 2 x + 3) + (2)/(x - 1) d x

Para o segundo termo termo vamos fazer a segunte substituição

x^2 + 2 x + 3 - 2 + 2 = (x + 1)^2 + 2

u = x + 1

d u = d x

int (x + 2)/(x^2 + 2 x + 4) d x = int (x + 2)/((x + 1)^2 + 2) d x = int (u + 1)/(u^2 + 2) d u = int (u)/(u^2 + 2) d u + int (1)/(u^2 + 2) d u

Na primeira integral vamos fazer outra substituição

u^2 + 2 = y

(d y)/(2) = u d u

Logo ficamos com

int (u)/(u^2 + 2) d u = int (1)/(2 y) d y = (1)/(2) ln y = (1)/(2) ln ( u^2 + 2 ) = (1)/(2) ln ((x + 1)^2 + 2)

int (u)/(u^2 + 2) d u = (1)/(2) ln (x^2 + 2 x + 3)

Passo 4

Na segunda, vamos rescrever u^2 + 2 = 2 (((u)/(sqrt(2)))^2 + 1) , assim

int (d u)/(u^2 + 2) = (1)/(2) int (d u)/(((u)/(sqrt(2)))^2 + 1)

Agora usaremos uma substituição trigonométrica

(u)/(sqrt(2)) = t g theta

d u = sqrt(2) sec^2 theta d theta

Portanto ficamos com

(sqrt(2))/(2) int (sec^2 theta)/(t g theta^2 + 1) d theta = (sqrt(2))/(2) int (sec^2 theta)/(sec^2 theta) d theta = (sqrt(2))/(2) theta

Desfazendo a substituição

a r c t g ((u)/(sqrt(2))) = theta

E u = x + 1

Temos que

(1)/(2) int (1)/(((u)/(sqrt(2)))^2 + 1) d u = (sqrt(2))/(2) a r c t g ((x + 1)/(sqrt(2)))

Juntando as duas integrais temos

int (x + 2)/(x^2 + 2 x + 3) d x = (1)/(2) ln ( x^2 + 2 x + 3 ) - (sqrt(2))/(2) a r c t g ((x + 1)/(sqrt(2)))

Passo 5

Por ultimo temos

int (2)/(x - 1) d x

Podemos fazer a seguinte substituição

x - 1 = v

d v = d x

Ficamos com

int (2)/(x - 1) d x = 2 int (1)/(v) d v = ln v = 2 ln ( x - 1 )

Passo 6

Basta juntar tudo para se obter a resposta

int (x^3 + 4 x^2 + 6 x + 1)/(x^3 + x^2 + x - 3) d x = x + (1)/(2) ln ( x^2 + 2 x + 3 ) - (sqrt(2))/(2) a r c t g ((x + 1)/(sqrt(2))) + 2 ln ( x - 1 ) + C

Resposta

int (x^3 + 4 x^2 + 6 x + 1)/(x^3 + x^2 + x - 3) d x = x + (1)/(2) ln ( x^2 + 2 x + 3 ) - (sqrt(2))/(2) a r c t g ((x + 1)/(sqrt(2))) + 2 ln ( x - 1 ) + C

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