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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.7 - Ex. 8

Calcule

int (x^4 + 2 x^2 - 8 x + 4)/(x^3 - 8) d x

Passo 1

Temos que calcular a integral

int (x^4 + 2 x^2 - 8 x + 4)/(x^3 - 8) d x

O primeiro passo é dividir os polinomios

(x^4 + 2 x^2 + 8 x + 4)/(x^3 - 8)

Basta dividir o maior grau do numerador pelo menor grau do denominador (x^4)/(x^3) = x

Agora muitiplica do denominador pelo resultado ( x^3 - 8 ) x e o resultado subtrair do numerador x^4 + 2 x^2 - 8 x + 4 - ( x^4 - 8 x ) = 2 x ² + 4

O primeiro passo é fatorar o denominador

int x + (2 x^2 + 4)/(x^3 - 8) d x = int x d x + int (2 x^2 + 4)/(( x - 2 ) ( x^2 + 2 x + 4 )) d x

Agora temos que fazer as frações parciais

(2 x^2 + 4)/(( x - 2 ) ( x^2 + 2 x + 4 )) = (a_0)/(x - 2) + (a_2 x + a_1)/(x^2 + 2 x + 4)

Multiplicando a equação pelo denominador temos

((2 x^2 + 4) ( x - 2 ) ( x^2 + 2 x + 4 ))/(( x - 2 ) ( x^2 + 2 x + 4 ))

= (a_0 ( x - 2 ) ( x^2 + 2 x + 4 ))/(x - 2) + (( a_2 x + a_1 ) ( x - 2 ) ( x^2 + 2 x + 4 ))/(x^2 + 2 x + 4)

2 x^2 + 4 = a_0 (x^2 + 2 x + 4) + (a_2 x + a_1) (x - 2)

2 x ² + 4 = (a_0 + a_2) x ² + (2 a_0 - 2 a_2 + a_1) + 4 a_0 - 2 a_1

Finalmente comparando temos 2 = a_0 + a_2

2 a_0 - 2 a_2 + a_1 = 0

4 = 4 a_0 - 2 a_1

Trabalhando nas primeira e terceira equações

a_2 = 2 - a_0

a_1 = 2 a_0 - 2

Jogamos na segunda

2 a_0 - 2 (2 - a_0) + (2 a_0 - 2) = 0

2 a_0 - 4 + 2 a_0 + 2 a_0 - 2 = 0

6 a_0 = 6 -> a_0 = 1

Voltando pras outras equações

a_2 = 2 - a_0 = 2 - 1 = 1

a_1 = 2 (1) - 2 = 0

Assim

(2 x^2 + 4)/(( x - 2 ) ( x^2 + 2 x + 4 )) = (1)/(x - 2) + (x)/(x^2 + 2 x + 4)

Passo 2

Logo ficamos com a integral

int x + (1)/(x - 2) + (x)/(x^2 + 2 x + 4) d x

A primeira integral fica:

int x d x = (x^2)/(2)

A segunda:

int (1)/(x - 2) d x

Podemos fazer a seguinte substituição

x - 2 = v

d v = d x

Ficamos com

int (1)/(x - 2) d x = int (1)/(v) d v = ln v = ln (x - 2)

Passo 3

A terceira

int (x)/(x^2 + 2 x + 4) d x

Pra trabalhar nessa expressão, vamos completar o quadrado no denominador

x^2 + 2 x + 4 = x^2 + 2 x + 1 + 3 = (x + 1)^2 + 3

Então a integral fica

int (x)/((x + 1)^2 + 3) d x

Vamos fazer a seguinte substituição

u = x + 1 -> d u = d x

x = u - 1

O que nos deixa com o seguinte

int (u - 1)/(u ² + 3) d u = int (u)/(u ² + 3) d u - int (1)/(u ² + 3) d u

A primeira dessas integrais fica

v = u^2 + 3 -> d v = 2 u d u

int (u)/(u ² + 3) d u = int ((1)/(2))/(v) d v = (1)/(2) ln v = (1)/(2) ln (u^2 + 3) = (1)/(2) ln ((x + 1)^2 + 3)

E a segunda fica

int (1)/(u^2 + 3) d u = (1)/(3) int (1)/(((u)/(sqrt(3)))^2 + 1) d u

Fazendo a seguinte substituição

(u)/(sqrt(3)) = tan theta

d u = sqrt(3) sec ² theta d theta

int (1)/(u^2 + 3) d u = (1)/(3) int (sqrt(3) s e c ² theta)/(t a n^2 theta + 1) d theta = (1)/(sqrt(3)) int (s e c ² theta)/(s e c^2 theta) d theta = (theta)/(sqrt(3))

Voltando para x

(u)/(sqrt(3)) = tan theta

theta = arctan ((u)/(sqrt(3))) = arctan ((u)/(sqrt(3))) = arctan ((sqrt(v - 3))/(sqrt(3))) = arctan ((sqrt(x - 4))/(sqrt(3)))

Assim

int (1)/(u^2 + 3) d u = (1)/(sqrt(3)) arctan ((sqrt(x - 4))/(sqrt(3)))

Passo 4

Basta juntar tudo para se obter a resposta

int (x^4 + 2 x^2 - 8 x + 4)/(x^3 - 8) d x = (x^2)/(2) + ln (x - 2) + (1)/(2) ln ((x + 1)^2 + 3) - (1)/(sqrt(3)) arctan ((sqrt(x - 4))/(sqrt(3))) + C

Resposta

int (x^4 + 2 x^2 - 8 x + 4)/(x^3 - 8) d x = (x^2)/(2) + ln (x - 2) + (1)/(2) ln ((x + 1)^2 + 3) - (1)/(sqrt(3)) arctan ((sqrt(x - 4))/(sqrt(3))) + C

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