A fórmula MathML fornecida contém apenas um espaço em branco, portanto não há uma fórmula matemática a ser reescrita. Se a ideia é representar um espaço ou uma ausência de fórmula, não há nada a ser transcrito. Se houver um erro na entrada e você está aguardando que uma fórmula específica seja escrita, por favor, verifique a entrada. Calcule

∫ x 4 + 2 x 2 - 8 x + 4 x 3 - 8 d x

Passo 1

Temos que calcular a integral

∫ x 4 + 2 x 2 - 8 x + 4 x 3 - 8 d x

O primeiro passo é dividir os polinomios

x 4 + 2 x 2 + 8 x + 4 x 3 - 8

Basta dividir o maior grau do numerador pelo menor grau do denominador x 4 x 3 = x

Agora muitiplica do denominador pelo resultado ( x 3 - 8 ) x   e o resultado subtrair do numerador x 4 + 2 x 2 - 8 x + 4 - ( x 4 - 8 x ) = 2 x ² + 4

O primeiro passo é fatorar o denominador

∫ x + 2 x 2 + 4 x 3 - 8 d x = ∫ x d x + ∫ 2 x 2 + 4 ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) d x

Agora temos que fazer as frações parciais

2 x 2 + 4 ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) = a 0 x - 2 + a 2 x + a 1 x 2 + 2 x + 4

Multiplicando a equação pelo denominador temos

2 x 2 + 4 ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 )

= a 0 ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) x - 2 + ( a 2 x + a 1 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) x 2 + 2 x + 4

2 x 2 + 4 = a 0 x 2 + 2 x + 4 + a 2 x + a 1 x - 2

2 x ² + 4 = a 0 + a 2 x ² + 2 a 0 - 2 a 2 + a 1 + 4 a 0 - 2 a 1

Finalmente comparando temos 2 = a 0 + a 2

2 a 0 - 2 a 2 + a 1 = 0

4 = 4 a 0 - 2 a 1

Trabalhando nas primeira e terceira equações

a 2 = 2 - a 0

a 1 = 2 a 0 - 2

Jogamos na segunda

2 a 0 - 2 2 - a 0 + 2 a 0 - 2 = 0

2 a 0 - 4 + 2 a 0 + 2 a 0 - 2 = 0

6 a 0 = 6 → a 0 = 1

Voltando pras outras equações

a 2 = 2 - a 0 = 2 - 1 = 1

a 1 = 2 1 - 2 = 0

Assim

2 x 2 + 4 ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) = 1 x - 2 + x x 2 + 2 x + 4

Passo 2

Logo ficamos com a integral

∫ x + 1 x - 2 + x x 2 + 2 x + 4 d x

A primeira integral fica:

∫ x d x = x 2 2  

A segunda:

∫ 1 x - 2 d x

Podemos fazer a seguinte substituição

x - 2 = v

d v = d x

Ficamos com

∫ 1 x - 2 d x = ∫ 1 v d v = ln ⁡ v = ln ⁡ x - 2

Passo 3

A terceira

∫ x x 2 + 2 x + 4 d x

Pra trabalhar nessa expressão, vamos completar o quadrado no denominador

x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 x + 1 + 3 = x + 1 2 + 3

Então a integral fica

∫ x x + 1 2 + 3 d x

Vamos fazer a seguinte substituição

u = x + 1 → d u = d x

x = u - 1

O que nos deixa com o seguinte

∫ u - 1 u ² + 3 d u = ∫ u u ² + 3 d u - ∫ 1 u ² + 3 d u

A primeira dessas integrais fica

v = u 2 + 3 → d v = 2 u d u

∫ u u ² + 3 d u = ∫ 1 2 v d v = 1 2 ln ⁡ v = 1 2 ln ⁡ u 2 + 3 = 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + 3

E a segunda fica

∫ 1 u 2 + 3 d u = 1 3 ∫ 1 u 3 2 + 1 d u

Fazendo a seguinte substituição

u 3 = tan ⁡ θ

d u = 3 sec ² ⁡ θ d θ

∫ 1 u 2 + 3 d u = 1 3 ∫ 3 s e c ² θ t a n 2 θ + 1 d θ = 1 3 ∫ s e c ² θ s e c 2 θ d θ = θ 3

Voltando para x

u 3 = tan ⁡ θ

θ = arctan ⁡ u 3 = arctan ⁡ u 3 = arctan ⁡ v - 3 3 = arctan ⁡ x - 4 3

Assim

∫ 1 u 2 + 3 d u = 1 3 arctan ⁡ x - 4 3

Passo 4

Basta juntar tudo para se obter a resposta

∫ x 4 + 2 x 2 - 8 x + 4 x 3 - 8 d x = x 2 2 + ln ⁡ x - 2 + 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + 3 - 1 3 arctan ⁡ x - 4 3 + C

Resposta

∫ x 4 + 2 x 2 - 8 x + 4 x 3 - 8 d x = x 2 2 + ln ⁡ x - 2 + 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + 3 - 1 3 arctan ⁡ x - 4 3 + C

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