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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 47

Calcule as integrais usando uma substituição apropriada.

∫ sec 3 ⁡ 2 x tan ⁡ 2 x d x

Passo 1

Bom galera, vamos usar a substituição:

u = sec ⁡ 2 x

d u = 2 sec ⁡ 2 x tan ⁡ 2 x d x

Passo 2

Belezinha, substituindo, nossa integral fica:

∫ sec 3 ⁡ 2 x tan ⁡ 2 x d x → 1 2 ∫ u 2   d u

Integrando fica:

= u 3 6 + C

Passo 3

Por fim a gente volta para a variável original:

u 3 6 + C = sec 3 ⁡ 2 x 6 + C

Resposta

sec 3 ⁡ 2 x 6 + C

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54- Dado que m e n são inteiros positivos, mostre que: ∫ 0 1 x m 1 - x n d x =∫ 0 1 x n 1 - x m d x Fazendo uma substituição. Não tente calcular as integrais.
55- Dado que n é um número positivo, mostre que ∫ 0 π 2 s e n n xd x = ∫ 0 π 2 cos n ⁡ xd x Usando uma identidade trigonométrica e fazendo uma substituição. Não tente calcular as integrais.
65- Encontre um valor positivo de k tal que a área sob o gráfico de y = e 2 x no intervalo [ 0 , k ] seja 3 unidades quadradas.
67- Encontre o limite lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 1 n s e n k π n n calculando uma integral apropriada no intervalo [0,1]
71-a) Seja I = ∫ 0 a f x f x + f a - x d x Mostre que I = a 2 .[Sugestão: Faça u = a - x e, então, observe a diferença entre o integrando resultante e o número 1.]b) Use o resultado de (a) para encont