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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 4

Calcule as integrais usando a substituição indicada.

a ∫ s e n π θ c o s π θ   d θ ; u = s e n π θ

b ∫ 2 x + 7 x 2 + 7 x + 3 4 / 5   d x ; u = x 2 + 7 x + 3

Passo 1

(a) Faaala ae, beleza?? Bora resolver as integrais!

Primeiro, vamos resolver:

∫ s e n ( π θ ) c o s ⁡ ( π θ )   d θ

Usando a substituição:

u = s e n ( π θ )

∴

d u = π cos ⁡ π θ d θ

Assim, nossa integral fica:

∫ u cos ⁡ π θ d u π c o s ⁡ ( π θ )  

Arrumando:

1 π ∫ u 1 2 d u  

Resolvendo a integral, sem esquecer da constante:

1 π ∫ u 1 2 d u   = 1 π 2 3 u 3 2 + C

Voltando com a substituição:

1 π 2 3 u 3 2 + C = 2 3 π s e n π θ 3 2 + C

Passo 2

(b) Agora, vamos resolver:

∫ 2 x + 7 x 2 + 7 x + 3 4 / 5   d x

Usando a substituição:

u = x 2 + 7 x + 3

∴

d u = 2 x + 7   d x

Assim, nossa integral fica:

∫ 2 x + 7 u 4 / 5   d u ( 2 x + 7 )

Arrumando:

∫ u 4 / 5   d u

Resolvendo a integral, sem esquecer da constante:

∫ u 4 / 5   d u = 5 9 u 9 5 + C

Voltando com a substituição:

5 9 u 9 5 + C = 5 9 ( x 2 + 7 x + 3 ) 9 5 + C

Prontinho!! Acabou! 😊

Resposta

(a) 2 3 π s e n π θ 3 2 + C

(b) 5 9 ( x 2 + 7 x + 3 ) 9 5 + C

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