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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 39

Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade direita de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado.

f x = x 3 ; 2,6

Passo 1

Segundo a definição 5.4.3, a área sob a curva de f ( x ) em [ a , b ] , se f x ≥ 0 em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade direita, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + k Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 4 n

x k * = 2 + 4 k n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 2 + 4 k n 3 4 n  

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 1 + 2 k n 3 32 n  

Desenvolvendo esse cubo...

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 1 + 6 k n + 12 k 2 n 2 + 8 k 3 n 3 32 n  

A =   lim n → ∞ ⁡ 32 n ∑ k = 1 n 1 + 6 k n + 12 k 2 n 2 + 8 k 3 n 3

Agora separamos os somatórios...

A = lim n → ∞ ⁡ 32 n ∑ k = 1 n 1 + 6 n ∑ k = 1 n k + 12 n 2 ∑ k = 1 n k 2 + 8 n 3 ∑ k = 1 n k 3

Agora resolvendo os somatórios...

A =   l i m n → ∞ 32 n [ n + 6 n n n + 1 2 + 12 n 2 n n + 1 2 n + 1 6 + 8 n 3 n 2 n + 1 2 4

Simplificamos...

A = l i m n → ∞ 32 n [   n + 3 n + 3 + 12 6 n 2 n 2 + 3 n + 1 + 8 4 n n 2 + 2 n + 1  

A = l i m n → ∞ 32 + 96 + 96 n + 128 + 192 n + 64 n 2 + 64 + 128 n + 64 n 2

A = 32 + 96 + 128 + 64 = 320

E... é isso! Essa é a aproximação da área calculada pela extremidade da direita😊

Resposta

A = 320

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