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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 10

Calcule as integrais usando a substituição indicada.

a ∫ sin ⁡ 3 θ 1 + cos ⁡ 3 θ   d θ ; u = 1 + cos ⁡ 3 θ

b ∫ e x 1 + e x   d x ; u = 1 + e x

Passo 1

Bom galera, vamos olhar as substituições primeiro:

u = 1 + cos ⁡ 3 θ

d u = - 3 sin ⁡ 3 θ d θ

A outra substituição é:

u = 1 + e x

d u = e x   d x

Passo 2

Belezinha, substituindo, nossas integrais ficam:

∫ sin ⁡ 3 θ 1 + cos ⁡ 3 θ   d θ → ∫ 1 3 u   d u

= - ln ⁡ u 3 + C

A outra fica:

∫ e x 1 + e x   d x → ∫ 1 u   d u

= ln ⁡ ( u ) + C

Passo 3

Por fim a gente volta para a variável original:

- ln ⁡ u 3 + C = - ln ⁡ 1 + cos ⁡ 3 θ 3 + C

ln ⁡ ( u ) + C = ln ⁡ ( 1 + e x ) + C

Resposta

a - ln ⁡ 1 + cos ⁡ 3 θ 3 + C

( b ) ln ⁡ ( 1 + e x ) + C

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