1-26. Calcule a integral.24. int_(sqrt(2))^2 (sqrt(2 x^2 - 4))/(x) d x

int_(sqrt(2))^2 (sqrt(2 x^2 - 4))/(x) d x = 2 - (pi)/(2)

Enunciado

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica:

Pois a raíz que aparece pra nós é do tipo:

Comparando a raíz da nossa integral, que é com a raíz acima, teremos que:

E disso tiramos:

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

Simplificando, teremos:

Fazendo , teremos que:

Que é uma integral bem tranquila de se resolver, não é mesmo? Qual função que quando derivada resulta em ? É a , certo? Dessa forma, teremos:

Beleza galera, encontramos nossa integral, mas em termos de e queremos em termos de . Da substituição trigonométrica que fizemos, tiramos que:

Ademais:

Substituindo no nosso resultado, teremos:

Aplicando os intervalos de integração:

E esse é o nosso resultado, galera!