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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 24

1-26. Calcule a integral.

24. int_(sqrt(2))^2 (sqrt(2 x^2 - 4))/(x) d x

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica:

x = a . sec theta

Pois a raíz que aparece pra nós é do tipo:

sqrt(x^2 - a^2)

Comparando a raíz da nossa integral, que é sqrt(2 x^2 - 4) com a raíz acima, teremos que:

sqrt(2) x = 2 . sec theta

:. x = sqrt(2) . sec theta

E disso tiramos:

d x = sqrt(2) . sec theta . tan theta d theta

Passo 2

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

int_(sqrt(2))^2 (sqrt(2 x^2 - 4))/(x) d x = int_(sqrt(2))^2 (sqrt(4 sec^2 theta - 4))/(sqrt(2) . sec theta) sqrt(2) . sec theta . tan theta d theta

Simplificando, teremos:

int_(sqrt(2))^2 (sqrt(4 (sec^2 theta - 1)))/(sqrt(2) . sec theta) sqrt(2) . sec theta . tan theta d theta = 2 int_(sqrt(2))^2 tan^2 theta d theta

Fazendo tan^2 theta = sec^2 theta - 1 , teremos que:

2 int_(sqrt(2))^2 tan^2 theta d theta = 2 int_(sqrt(2))^2 (sec^2 theta - 1) d theta

Que é uma integral bem tranquila de se resolver, não é mesmo? Qual função que quando derivada resulta em sec^2 theta ? É a tan theta , certo? Dessa forma, teremos:

2 int_(sqrt(2))^2 (sec^2 theta - 1) d theta = 2 [tan theta - theta] (2)/(sqrt(2))

Passo 3

Beleza galera, encontramos nossa integral, mas em termos de theta e queremos em termos de x . Da substituição trigonométrica que fizemos, tiramos que:

tan theta = (sqrt(x^2 - 2))/(sqrt(2))

Ademais:

theta = a r c cos (sqrt(2))/(x)

Substituindo no nosso resultado, teremos:

2 [tan theta - theta] (2)/(sqrt(2)) = 2 [(sqrt(x^2 - 2))/(sqrt(2)) - a r c cos (sqrt(2))/(x)] (2)/(sqrt(2))

Aplicando os intervalos de integração:

2 [(sqrt(x^2 - 2))/(sqrt(2)) - a r c cos (sqrt(2))/(x)] (2)/(sqrt(2)) = 2 - (pi)/(2)

:. int_(sqrt(2))^2 (sqrt(2 x^2 - 4))/(x) d x = 2 - (pi)/(2)

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

int_(sqrt(2))^2 (sqrt(2 x^2 - 4))/(x) d x = 2 - (pi)/(2)

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