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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 45

37-48. Calcule a integral.

45. int (d x)/(2 x^2 + 4 x + 7)

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

2 x^2 + 4 x + 7 = 2 (x^2 + 2 x + (7)/(2))

2 (x^2 + 2 x + (7)/(2)) = 2 (x^2 + 2 x + 1 - 1 + (7)/(2))

2 x^2 + 4 x + 7 = 2 (x + 1)^2 + 5

Substituindo na nossa integral:

int (d x)/(2 x^2 + 4 x + 7) = int (d x)/(2 (x + 1)^2 + 5)

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Para resolver a integral vamos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = x + 1

Disso tiramos que:

d u = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

int (d x)/(2 (x + 1)^2 + 5) = int (d u)/(2 u^2 + 5)

Colocando 2 em evidência no denominador:

int (d u)/(2 u^2 + 5) = (1)/(2) int (d u)/(u^2 + (5)/(2))

E como vimos na seção 4, essa é uma integral tabelada e seu resultado é:

(1)/(2) int (d u)/(u^2 + (5)/(2)) = (1)/(2) . (1)/(a) (a r c tan (u)/(a)) + C

Como u = x + 1 e a = sqrt((5)/(2)) , então:

int (d x)/(2 x^2 + 4 x + 7) = (1)/(sqrt(10)) (a r c tan sqrt((2)/(5)) (x + 1)) + C

E esse é o nosso resultado, galera! 😉

Resposta

int (d x)/(2 x^2 + 4 x + 7) = (1)/(sqrt(10)) (a r c tan sqrt((2)/(5)) (x + 1)) + C

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