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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 40

37-48. Calcule a integral.

40. int (d x)/(16 x^2 + 16 x + 5)

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

16 x^2 + 16 x + 5 = 16 (x^2 + x + (5)/(16))

16 x^2 + 16 x + 5 = 16 (x^2 + x + ((1)/(2))^2 - ((1)/(2))^2 + (5)/(16))

16 x^2 + 16 x + 5 = 16 (x + (1)/(2))^2 + 1

Substituindo na nossa integral:

int (d x)/(16 x^2 + 16 x + 5) = int (d x)/(16 (x + (1)/(2))^2 + 1)

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Para resolver a integral vamos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = x + (1)/(2)

Disso tiramos que:

d u = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

int (d x)/(16 (x + (1)/(2))^2 + 1) = int (d u)/(16 u^2 + 1) = (1)/(16) int (d u)/((u^2 + (1)/(16)))

E como vimos na seção 4, essa é uma integral tabelada e seu resultado é:

int (d u)/((4 u)^2 + 1) = (1)/(a) a r c tan (u)/(a) + C

Como a = (1)/(4) e u = x + (1)/(2) , então:

int (d x)/(16 x^2 + 16 x + 5) = (1)/(4) a r c tan (4 x + 2) + C

E esse é o nosso resultado, galera! 😉

Resposta

int (d x)/(16 x^2 + 16 x + 5) = (1)/(4) a r c tan (4 x + 2) + C

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