37-48. Calcule a integral.

40. ∫ d x 16 x 2 + 16 x + 5

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

16 x 2 + 16 x + 5 = 16 x 2 + x + 5 16

16 x 2 + 16 x + 5 = 16 x 2 + x + 1 2 2 - 1 2 2 + 5 16

16 x 2 + 16 x + 5 = 16 x + 1 2 2 + 1

Substituindo na nossa integral:

∫ d x 16 x 2 + 16 x + 5 = ∫ d x 16 x + 1 2 2 + 1

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Para resolver a integral vamos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = x + 1 2

Disso tiramos que:

d u = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ d x 16 x + 1 2 2 + 1 = ∫ d u 16 u 2 + 1 = 1 16 ∫ d u u 2 + 1 16

E como vimos na seção 4, essa é uma integral tabelada e seu resultado é:

∫ d u 4 u 2 + 1 = 1 a a r c tan ⁡ u a + C

Como a = 1 4 e u = x + 1 2 , então:

∫ d x 16 x 2 + 16 x + 5 = 1 4 a r c tan ⁡ 4 x + 2 + C

E esse é o nosso resultado, galera! 😉

Resposta

∫ d x 16 x 2 + 16 x + 5 = 1 4 a r c tan ⁡ 4 x + 2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados