Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 36
Encontre o volume do sólido gerado quando a região limitada por gira em torno do eixo .
Passo 1
Então galera, para calcularmos o volume do sólido gerado pela curva em questão, teremos que utilizar o método dos discos, dado pela seguinte integral:
Como nossa função é:
Então o que temos que encontrar é:
O que nos dá:
Show, simplificamos nossa integral!
Passo 2
Para resolvermos essa nova integral que escrevemos vamos utilizar uma substituição trigonométrica, tudo bem? A substituição mais adequada para esse caso é:
Como , temos que:
Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:
Da relação fundamental da trigonometria conseguimos tirar que:
Show, simplificamos mais ainda nossa integral! Vamos continuar o processo.
Passo 3
Uma propriedade da trigonometria nos diz que:
Substituindo na nossa integral, teremos:
Logo, teremos que:
Que nos cede como resultado:
Convertendo os intervalos de integração:
Logo, o volume do nosso sólido será:
E essa é a nossa resposta, galera!