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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 63

Calcule a integral int (3 d r)/(sqrt(1 - 4 (r - 1)^2))

Passo 1

Vamos reescrever nossa integral e colocar a constante pra fora primeiro, tá?

int (3 d r)/(sqrt(1 - 4 (r - 1)^2)) = 3 int (d r)/(sqrt(1 - 4 (r - 1)^2)) = 3 int (d r)/(sqrt(1 - ( 2 (r - 1 ))^2))

Passo 2

Perceba que não temos uma primitiva de cara para essa função. Então, vamos ter que usar alguma forma pra sair dessa. A ideia é usar substituição pra poder ficar com uma variável elevada a uma potência que é algo que a gente já sabe resolver, blz?

Então ,chame

u = 2 (r - 1) => d u = 2 d r => d r = (1)/(2) d u

Passo 3

Substituindo a mudança de variável,

int (d r)/(sqrt(1 - 4 (r - 1)^2)) = 3 int (d r)/(sqrt(1 - ( 2 (r - 1 ))^2)) = 3 int (d r)/(sqrt(1 - u^2))

Passo 4

Resolvendo a integral,

3 int (d r)/(sqrt(1^2 - u^2)) = 3 a r c s e n ((1)/(u))

Passo 5

Retornando a variável inicial,

3 a r c s e n ((1)/(u)) = 3 a r c s e n ( (1)/(2 (r - 1)) )

Resposta

int (3 d r)/(sqrt(1 - 4 (r - 1)^2)) = 3 a r c s e n ( (1)/(2 (r - 1)) )

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