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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 47

Determine a primeira e a segunda derivadas das funções nos Exercícios 45-52.

r = θ - 1 θ 2 + θ + 1 θ 3

Passo 1

A questão pede para obter a primeira e a segunda derivadas de r θ . Como temos uma fração, utilizaremos da regra do quociente

r ' = f g ' = f ' g - f g ' g 2

Passo 2

Obtendo a derivada de ordem 1:

r ' = θ - 1 θ 2 + θ + 1 θ 3 '

r ' = θ - 1 θ 2 + θ + 1 ' θ 3 - θ - 1 θ 2 + θ + 1 θ 3 ' θ 3 2

Como temos um produto em f θ = θ - 1 θ 2 + θ + 1 , utilizaremos a regra do produto, assim

f ' θ = θ - 1 θ 2 + θ + 1 ' = θ - 1 ' θ 2 + θ + 1 + θ - 1 θ 2 + θ + 1 '

f ' θ = θ 1 - 1 + 0 θ 2 + θ + 1 + θ - 1 2 θ 2 - 1 + θ 1 - 1 + 0

f ' θ = 1 θ 2 + θ + 1 + θ - 1 2 θ + 1

f ' θ = θ 2 + θ + 1 + 2 θ 2 + θ - 2 θ - 1

f ' θ = 3 θ 2

Substituindo f ' θ na equação r '

r ' = 3 θ 2 θ 3 - θ - 1 θ 2 + θ + 1 3 θ 3 - 1 θ 6

r ' = 3 θ 2 θ 3 - θ 3 + θ 2 + θ - θ 2 - θ - 1 3 θ 2 θ 6

r ' = 3 θ 5 - θ 3 - 1 3 θ 2 θ 6

r ' = 3 θ 5 - 3 θ 5 - 3 θ 2 θ 6

r ' = 3 θ 5 - 3 θ 5 + 3 θ 2 θ 6

r ' = 3 θ 2 θ 6

r ' = 3 θ 4 = 3 θ - 4

Pronto, calculamos a primeira derivada de r θ .

Passo 3

A próxima derivada é obtida por:

r ' ' = 3 θ - 4 '

r ' ' = 3 ∙ - 4 θ - 4 - 1

r ' ' = - 12 θ - 5

Fim!!!

Resposta

r ' = 3 θ - 4

r ' ' = - 12 θ - 5

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