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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 90

Calcule a integral

int t g^3 (t) d t

Passo 1

Primeiramente, vamos reescrever a nossa integral de tal forma que possamos aplicar alguma relação trigonométrica de tal forma que nosso cálculo possa ser simplificado. Assim, vamos reescrever nossa integral da seguinte forma

int t g^2 ( t ) * t g (t) d t

Da relação trigonométrica fundamental podemos chegar na seguinte relação

t g^2 (t) = sec^2 ( t ) - 1

Substituindo na nossa integral teremos

int ( sec^2 (t) - 1 ) * t g (t) d t

Passo 2

Da forma como está escrita nossa integral podemos fazer uma substituição simples da seguinte forma

u = sec (t) -> (d u)/(d t) = sec (t) * t g (t) -> d t = (d u)/(sec ( t ) * t g (t))

int (u^2 - 1)/(u) d u = int (u^2)/(u) - (1)/(u) d u

Utilizando a linearidade das integrais podemos separar a integral da subtração como a subtração das integrais

int u d u - int (1)/(u) d u

Passo 3

Por fim, podemos resolver cada integral separadamente e juntar os resultados no final. Assim,

(i) int u d u = (u^2)/(2) + C

(i i) int (1)/(u) d u = ln |u| + C

Juntando ambos os resultando e retornando a variável t obteremos

int t g^3 ( t ) d t = (sec^2 (t))/(2) - ln |sec (t)| + C

Resposta

(sec^2 (t))/(2) - ln |sec (t)| + C

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