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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 67

Use o método do Exercício 66 para calcular

∫ d x a sin ⁡ x + b cos ⁡ x ( a , b não nulos)

Passo 1

Bom galera, vamos pegar a nossa integral:

∫ d x a sin ⁡ x + b cos ⁡ x

E vamos dar uma mexidinha no denominador:

a sin ⁡ x + b cos ⁡ x = a 2 + b 2 a a 2 + b 2 sin ⁡ x + b a 2 + b 2 cos ⁡ x

= a 2 + b 2 cos ⁡ θ sin ⁡ x + sin ⁡ θ cos ⁡ x

= a 2 + b 2 sin ⁡ x + θ

Passo 2

Belezinha, a gente usa essa nossa mexidinha no integral:

∫ d x a sin ⁡ x + b cos ⁡ x

= 1 a 2 + b 2 ∫ d x sin ⁡ x + θ = 1 a 2 + b 2 ∫ csc ⁡ x + θ d x

= - 1 a 2 + b 2 ln ⁡ csc ⁡ x + θ + cot ⁡ x + θ + C

= - 1 a 2 + b 2 ln ⁡ a 2 + b 2 a 2 + b 2 sin ⁡ x + θ + a 2 + b 2 cos ⁡ x + θ a 2 + b 2 sin ⁡ x + θ + C

= - 1 a 2 + b 2 ln ⁡ a 2 + b 2 a sin ⁡ x + b cos ⁡ x + a co s ⁡ x - b s in ⁡ x a sin ⁡ x + b cos ⁡ x + C

= - 1 a 2 + b 2 ln ⁡ a 2 + b 2 + a cos ⁡ x - b s in ⁡ x a sin ⁡ x + b cos ⁡ x + C

Resposta

- 1 a 2 + b 2 ln ⁡ a 2 + b 2 + a cos ⁡ x - b sin ⁡ x a sin ⁡ x + b cos ⁡ x + C

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