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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 13

Calcule a integral

int_(ln 4)^(ln 9) e^(x // 2) d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int_(ln 4)^(ln 9) e^(x // 2) d x

Vamos obter inicialmente a primitiva da integral indefinida associada, a qual é:

int e^(x // 2) d x = 2 e^(x // 2) + k

Uma primitiva de uma função exponencial e^(k x) é dada por ( e^(k x) ) // k . Observem que, como foi resolvido uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante k !

Passo 3

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

int_(ln 4)^(ln 9) e^x d x = ([2 e^(x // 2 )]|_(ln 4)^(ln 9)

int_(ln 4)^(ln 9) e^(x // 2) d x = 2 e^((ln 9)/(2)) - 2 e^((ln 4)/(2))

int_(ln 4)^(ln 9) e^(x // 2) d x = 2 e^((2 ln 3)/(2)) - 2 e^((2 ln 2)/(2))

int_(ln 4)^(ln 9) e^(x // 2) d x = 2 e^(ln 3) - 2 e^(ln 2)

int_(ln 4)^(ln 9) e^(x // 2) d x = 2 * 3 - 2 * 2 = 6 - 4 = 2

Resposta

int_(ln 4)^(ln 9) e^(x // 2) d x = 2

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