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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 46

Calcule a integral:

int c o t g h ((theta)/(sqrt(3))) d theta

Passo 1

Vamos fazer a substituição simples: u = (theta)/(sqrt(3)) d u = (1)/(sqrt(3)) d x -> sqrt(3) d u = d x ...

Aí reescrevemos como:

int c o t g h u sqrt(3) d u = sqrt(3) int c o t g h u d u = sqrt(3) int (cosh u)/(s e n h u) d u

Agora integramos a função em u , vamos fazer outra substituição pra ficar melhor:

y = s e n h u -> d y = cosh u

sqrt(3) int (cosh u)/(s e n h u) d u = sqrt(3) int (d y)/(y) = sqrt(3) ln y + C

Voltamos pra u e depois para x :

sqrt(3) ln y + C = sqrt(3) ln | s e n h u | = sqrt(3) ln | s e n h (theta)/(sqrt(3)) | + C

Sabendo que s e n h t = (e^t - e^(- t))/(2) fazemos:

sqrt(3) ln | (e^((theta)/(sqrt(3))) - e^((- theta)/(sqrt(3))))/(2) + C = sqrt(3) ln | e^((theta)/(sqrt(3))) - e^((- theta)/(sqrt(3))) | - sqrt(3) ln 2 + C

Resposta

sqrt(3) ln | e^((theta)/(sqrt(3))) - e^((- theta)/(sqrt(3))) | - sqrt(3) ln 2 + C

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