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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.4 - Ex. 35

Calcule a integral

int (d x)/(x (x^2 + 4)^2)

Passo 1

Nossa integral é a seguinte: int (d x)/(x (x^2 + 4)^2)

Como o polinômio já está fatorado vamos partir para separar em frações parciais. Repare que temos um termo ao quadrado no denominador. Logo, as coisas vão ficar assim:

(1)/(x (x^2 + 4)^2) = (A)/(x) + (B x + C)/(x^2 + 4) + (D x + E)/((x^2 + 4)^2)

Colocando tudo no mesmo denominador:

(1)/(x (x^2 + 4)^2) = (A)/(x) * ((x^2 + 4)^2)/((x^2 + 4)^2) + (B x + C)/(x^2 + 4) * (x (x^2 + 4))/(x (x^2 + 4)) + (D x + E)/((x^2 + 4)^2) * (x)/(x)

Passo 2

Arrumando as coisas, temos:

(1)/(x (x^2 + 4)^2) = (A (x^2 + 4)^2 + (B x + C) (x^3 + 4 x) + ( D x + E ) ( x ))/(x (x^2 + 4)^2)

Isto é,

1 = A (x^2 + 4)^2 + (B x + C) (x^3 + 4 x) + ( D x + E ) ( x )

Assim,

1 = A (x^4 + 8 x^2 + 16) + ( B x^4 + 4 B x^2 + C x^3 + 4 C x ) + ( D x^2 + E x )

Portanto,

x^4 (A + B) + x^3 (C) + x^2 (8 A + 4 B + D) + x (4 C + E) + (16 A) = 1

Montando um sistema, temos:

{[[A + B = 0],[C = 0],[8 A + 4 B + D = 0],[4 C + E = 0],[16 A = 1]])

Resolvendo,

A = 1 // 16 , B = - 1 // 16 , C = 0 , D = - 1 // 4 e E = 0

Voltando para expressão que queremos integrar:

(A)/(x) + (B x + C)/(x^2 + 4) + (D x + E)/((x^2 + 4)^2)

Logo,

(1 // 16)/(x) + ((- (1)/(16)) x)/(x^2 + 4) + ((- (1)/(4)) x)/((x^2 + 4)^2)

Passo 3

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Agora vamos integrar!

I = int (((1)/(16))/(x) + ((- (1)/(16)) x)/(x^2 + 4) + ((- (1)/(4)) x)/((x^2 + 4)^2)) d x

Logo,

I = (1)/(16) * int (1)/(x) d x - (1)/(16) * int (x)/(x^2 + 4) d x - (1)/(4) * int (x)/((x^2 + 4)^2) d x

Agora vamos integrar cada termo separadamente! O primeiro fica assim:

I_1 = int (1)/(x) d x = ln |x| + C_1

Já o segundo:

I_2 = int (x)/(x^2 + 4) d x

Fazendo u = x^2 + 4 -> d u = 2 x d x . Logo,

I_2 = int (1)/(u) (d u)/(2) = (1)/(2) * ln |u| + C_2

Voltando para variável x :

I_2 = (1)/(2) * ln |x^2 + 4| + C_2

Por último, temos:

I_3 = int (x)/((x^2 + 4)^2) d x

Fazendo u = x^2 + 4 -> d u = 2 x d x . Logo,

I_3 = int (1)/(u^2) (d u)/(2) = (1)/(2) * int (d u)/(u^2)

Então,

I_3 = (1)/(2) * (- (1)/(u)) + C_3 -> I_3 = - (1)/(2 (x^2 + 4)) + C_3

Agora vamos juntar tudo!

I = (1)/(16) * (ln |x| + C_1) - (1)/(16) * ((1)/(2) * ln |x^2 + 4| + C_2) - (1)/(4) * (- (1)/(2 (x^2 + 4)) + C_3)

Portanto,

I = (1)/(16) ln |x| - (1)/(32) ln |x^2 + 4| + (1)/(8 (x^2 + 4)) + C

Resposta

(1)/(16) ln |x| - (1)/(32) ln |x^2 + 4| + (1)/(8 (x^2 + 4)) + C

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