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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 2

int (x^2 d x)/(x^2 + x - 6)

Passo 1

Primeiro vemos que as raízes do denominador são 2 e -3, logo podemos reescrever a equação de forma mais fácil para resolver o problema.

int (x^2 d x)/(( x - 2 ) ( x + 3 ))

Para x diferente de 2 e -3.

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(x^2 d x)/(( x - 2 ) ( x + 3 )) = (A)/(( x - 2 )) + (B)/(( x + 3 ))

Isolando x^2 , vamos achar

x^2 = A (x + 2) + B ( x - 3 )

Vemos que agora os valores 2 e -3 fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B.

A = (4)/(5) ; B = - (9)/(5)

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

(x^2 d x)/(( x - 2 ) ( x + 3 )) = ((4)/(5))/(( x - 2 )) + (- (9)/(5))/(( x + 3 ))

Simplificando

(x^2 d x)/(( x - 2 ) ( x + 3 )) = (1)/(5) ((4)/(( x - 2 )) - (9)/(( x + 3 )))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (x^2 d x)/(( x - 2 ) ( x + 3 )) = (1)/(5) (int (4 d x)/(( x - 2 )) - int (9 d x)/(( x + 3 )))

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (x^2 d x)/(( x - 2 ) ( x + 3 )) = (1)/(5) (4 l n | x - 2 | - 9 l n | x + 3 |)

Resposta

int (x^2 d x)/(x^2 + x - 6) = (1)/(5) (4 l n | x - 2 | - 9 l n | x + 3 |) + c

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