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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.5 - Ex. 3

3. Calcule a integral

int (s e n (x) + s e c ( x ))/(t g ( x )) d x

Passo 1

Nossa integral é o seguinte:

I = int (s e n (x) + s e c ( x ))/(t g ( x )) d x

Vamos começar arrumando nosso termo integrante:

E = (s e n (x) + sec (x))/(t g (x)) = (s e n (x) + (1)/(cos (x)))/((s e n (x))/(cos (x)))

Logo,

E = (s e n (x) cos (x) + 1)/(s e n (x))

Separando em duas partes, temos:

E = (s e n (x) cos (x))/(s e n (x)) + (1)/(s e n (x))

Portanto,

E = cos (x) + csc (x)

Passo 2

Agora é só partirmos para integral!

I = int (cos (x) + csc (x)) d x

Logo,

I = int cos (x) d x + int csc (x) d x

Não esquece: int c o s (x) d x = s e n ( x ) + C

Não esquece: int cs c (x) d x = - l n | c s c (x) + c o t g ( x ) | + C

Portanto,

I = s e n (x) - l n | c s c (x) + c o t g ( x ) | + C

Resposta

s e n (x) - l n | c s c (x) + c o t g ( x ) | + C

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