3. Calcule a integral

∫ s e n x + s e c ⁡ ( x ) t g ( x ) d x

Passo 1

Nossa integral é o seguinte:

I = ∫ s e n x + s e c ⁡ ( x ) t g ( x ) d x

Vamos começar arrumando nosso termo integrante:

E = s e n x + sec ⁡ x t g x = s e n x + 1 cos ⁡ x s e n x cos ⁡ x

Logo,

E = s e n x cos ⁡ x + 1 s e n x

Separando em duas partes, temos:

E =   s e n x cos ⁡ x s e n x + 1 s e n x

Portanto,

E = cos ⁡ x + csc ⁡ x

Passo 2

Agora é só partirmos para integral!

I = ∫ cos ⁡ x + csc ⁡ x d x

Logo,

I = ∫ cos ⁡ x d x + ∫ csc ⁡ x d x

Não esquece: ∫ c o s x   d x = s e n ( x ) + C

Não esquece: ∫ cs c ⁡ x d x = - l n | c s c x + c o t g ( x ) | + C

Portanto,

I = s e n x - l n | c s c x + c o t g ( x ) | + C

Resposta

s e n x - l n | c s c x + c o t g ( x ) | + C

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