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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 28

Calcule a integral.

int t g ² (2 x) . sec^5 ( 2 x ) . d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral

int t g ² (2 x) . sec^5 ( 2 x ) . d x

Bom galera, antes de começar vamos lembrar de usar a substituição, ok?

u = 2 x

Derivando:

d u = 2 d x -> (d u)/(2) = d x

Veja só!

Passo 2

Substituindo:

int t g ² (2 x) . sec^5 ( 2 x ) . d x -> int t g ² (u) . sec^5 (u) . (d u)/(2) = (1)/(2) int t g ² (u) . sec^5 (u) d u

Vamos lembrar que:

t g ² (u) = s e c ² (u) - 1

Então:

int t g ² (2 x) . sec^5 ( 2 x ) . d x = (1)/(2) int ( s e c ² (u) - 1 ) . sec^5 (u) d u

Fazendo a distributiva:

int t g ² (2 x) . sec^5 ( 2 x ) . d x = (1)/(2) int ( sec^7 ( u ) - sec^5 (u) ) d u

int t g ² (2 x) . sec^5 ( 2 x ) . d x = (1)/(2) [int sec^7 (u) d u - int sec^5 (u) d u]

Agora vamos resolver cada uma separadamente.

Bora lá!

Passo 3

Vamos começar com:

int sec^7 (u) d u

Aqui nós vamos aplicar o que chamamos de redução de integrais:

int sec^n (u) d u = (sec^(n - 1) (u) . s e n ( u ))/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) (u) d u

Como temos n = 7 :

int sec^7 (u) d u = (sec^6 (u) . s e n ( u ))/(6) + (5)/(6) int sec^5 (u) d u

Mais uma vez para a integral que surgiu, só que agora n = 5 :

int sec^5 (u) d u = (sec^4 (u) . s e n ( u ))/(4) + (3)/(4) int sec^3 (u) d u

Então a nossa integral do passo 1 fica:

int sec^7 (u) d u = (1)/(2) [(sec^6 (u) . s e n ( u ))/(6) + (5)/(6) ((sec^4 (u) . s e n (u))/(4) + (3)/(4) int sec^3 (u) d u) - ((sec^4 (u) . s e n (u))/(4) + (3)/(4) int sec^3 (u) d u)]

Isolando o termo em comum:

int sec^7 (u) d u = (1)/(2) [((sec^4 (u) . s e n (u))/(4) + (3)/(4) int sec^3 (u) d u) ((sec^6 (u) . s e n (u))/(6) + (5)/(6) - 1)]

int sec^7 (u) d u = (1)/(2) [((sec^4 (u) . s e n (u))/(4) + (3)/(4) int sec^3 (u) d u) ((sec^6 (u) . s e n (u))/(6) - (1)/(6))]

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Ainda não acabamos né? Precisamos da integral

int sec^3 (u) d u

Vamos separar uma sec^2 (u) , e vocês vão ver que isso vai nos ajudar !

int sec^3 (u) d u = int sec^2 (u) . sec (u) d u

Agora podemos resolver por substituição:

v = sec (u)

Derivando pela Regra da Cadeia:

d v = sec (u) . t g (u) . d u

O que sobramos é chamado de:

d w = sec^2 (u) d u

Integrando:

w = t g ( u )

Usando a fórmula da substituição:

int sec^3 (u) d u = t g (u) . sec (u) - int sec (u) . t g (u) . t g (u) . d u

int sec^3 (u) d u = t g (u) . sec (u) - int sec (u) . t g ² (u) . d u

Lembrando da identidade do Passo 1:

int sec^3 (u) d u = t g (u) . sec (u) - int sec (u) . ( s e c ² (u) - 1 ) . d u

int sec^3 (u) d u = t g (u) . sec (u) - int ( sec^3 ( u ) - sec (u) ) . d u

int sec^3 (u) d u = t g (u) . sec (u) - [int sec^3 (u) . d u - int sec (u) . d u]

int sec^3 (u) d u = t g (u) . sec (u) - int sec^3 (u) . d u + ln | sec (u) + t g ( u ) |

Isolamos nossa integral:

2 int sec^3 (u) d u = t g (u) . sec (u) + ln | sec (u) + t g ( u ) |

int sec^3 (u) d u = (1)/(2) (t g (u) . sec (u) + ln |sec (u) + t g (u)|)

Ufaa! Vamos substituir:

int sec^3 (u) d u = (1)/(2) [((sec^4 (u) . s e n (u))/(4) + (3)/(4) ((1)/(2) (t g (u) . sec (u) + ln |sec (u) + t g (u)|))) ((sec^6 (u) . s e n (u))/(6) - (1)/(6))]

Substituímos o u :

int t g ² (2 x) . sec^5 ( 2 x ) . d x = (1)/(2) [((sec^4 (2 x) . s e n (2 x))/(4) + (3)/(4) ((1)/(2) (t g (2 x) . sec (2 x) + ln |sec (2 x) + t g (2 x)|))) ((sec^6 (2 x) . s e n (2 x))/(6) - (1)/(6))]

E Fiim! Meio complicado, mas espero que tenham entendido! Responde Aí!

Resposta

int t g ² (2 x) . sec^5 ( 2 x ) . d x = (1)/(2) [((sec^4 (2 x) . s e n (2 x))/(4) + (3)/(4) ((1)/(2) (t g (2 x) . sec (2 x) + ln |sec (2 x) + t g (2 x)|))) xx ((sec^6 (2 x) . s e n (2 x))/(6) - (1)/(6))]

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