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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 11

Calcule a integral.

int_0^((pi)/(2)) sen^2 x cos^2 x d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos fazer algumas manipulações na expressão:

int sen^2 x cos^2 x d x

= int (1)/(4) (4 sen^2 x cos^2 x) d x

Utilizando a identidade sin 2 x = 2 sin x cos x :

= int (1)/(4) (2 sen x cos x)^2 d x

= int (1)/(4) sen^2 2 x d x

Utilizando de outra identidade, sin^2 2 x = (1)/(2) (1 - cos 4 x) :

= int (1)/(4) ((1 - cos 4 x)/(2)) d x

= (1)/(8) int 1 - cos 4 x d x

= (1)/(8) (int 1 d x + int - cos 4 x d x)

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 3

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int cos c x d x = (sen c x)/(c) + C

int k d x = k x + C

Então ficamos com:

int 1 d x + int - cos 4 x d x = int 1 d x - int cos 4 x d x

= x - (sen 4 x)/(4) + C

Agora vamos voltar a expressão original:

int sen^2 x cos^2 x d x = (1)/(8) (int 1 d x + int - cos 4 x d x)

= (1)/(8) (x - (sen 4 x)/(4)) + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_0^((pi)/(2)) sen^2 x cos^2 x d x = ((1)/(8) (x - (sen 4 x)/(4)))_0^((pi)/(2))

= (1)/(8) ((pi)/(2) - (sen 4 (pi)/(2))/(4)) - ((1)/(8) (0 - (sen 4.0)/(4)))

= (1)/(8) ((pi)/(2) - 0) - ((1)/(8) (0 - 0))

= (pi)/(16)

Resposta

int_0^((pi)/(2)) sen^2 x cos^2 x d x = (pi)/(16)

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Verificar as fórmulas:int tg^n u d u = (1)/(n - 1) tg^(n - 1) u - int tg^(n - 2) u d u int cotg^n u d u = (- 1)/(n - 1) co tg^(n - 1) u - int cotg^(n - 2) u d u
Calcular a área limitada pela curva y = cos ⁡ x , pelas retas x = π 2 e x = 3 π 2 e o eixo dos x .
Calcular a área limitada por y = 2 |sen x| , x = 0 , x = 2 pi e o eixo dos x .
Calcular a área sob o gráfico de y = cos^6 x , de 0 até pi .
Calcular a área entre as curvas y = sen^2 x e y = cos^2 x , de (pi)/(4) até (3 pi)/(4) .