Enunciado

Use integração por partes para demonstrar a fórmula da redução.

∫ sec n ⁡ x d x = tg ⁡ x ⁡ sec n - 2 ⁡ x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x   ( n ≠ 1 )

Passo 1

E aí, pessoal! 😁

Nesse problema temos que aplicar a o método de integração por partes para demonstrar que

∫ sec n ⁡ x d x = tg ⁡ x ⁡ sec n - 2 ⁡ x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x   ( n ≠ 1 )

Lembra como fazemos isso? 🤔

O método de integração por partes é uma técnica para calcular integrais que envolvem o produto de duas funções. Esse método se baseia na regra do produto para a derivada, que diz que:

f g ' = f ' g + f g '

Integrando ambos os membros dessa igualdade, obtemos:

∫ f g ' d x = ∫ f ' g d x + ∫ f g ' d x

f g = ∫ f ' g d x + ∫ f g ' d x

Isolando a integral que queremos calcular, temos:

∫ f ' g d x = f g - ∫ f g ' d x

Bora ver como é nesse caso! 😉

Passo 2

A gente já vai começar com uma substituição:

Se u = sec n - 2 ⁡ x e d v = sec 2 ⁡ x d x temos que d u = n - 2 sec n - 3 ⁡ x sec ⁡ x tg ⁡ x d x e v = tg ⁡ x .

Assim, pela Equação 2, temos que

∫ sec n ⁡ x d x = tg ⁡ x sec n - 2 ⁡ x - n - 2 ∫ sec n - 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x d x

∫ sec n ⁡ x d x = tg ⁡ x sec n - 2 ⁡ x - n - 2 ∫ sec n - 2 ⁡ x ( ⁡ sec 2 ⁡ x - 1 ) d x

∫ sec n ⁡ x d x = tg ⁡ x sec n - 2 ⁡ x - n - 2 ∫ sec n ⁡ x d x + ( n - 2 ) ∫ s e c n - 2 x d x

Assim, n - 1 ∫ sec n ⁡ x d x = tg ⁡ x sec n - 2 ⁡ x + ( n - 2 ) ∫ s e c n - 2 x d x .

Se n - 1 ≠ 0 , então

∫ sec n ⁡ x d x = tg ⁡ x sec n - 2 ⁡ x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

E aí! O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ sec n ⁡ x d x = tg ⁡ x sec n - 2 ⁡ x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

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