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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 7

Calcule a integral.

int_0^((pi)/(2)) cos^2 theta d theta

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral:

int_0^((pi)/(2)) cos^2 theta d theta

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Mas antes de prosseguir com o cálculo, vamos fazer algumas manipulações na expressão:

int cos^2 theta d theta = int (1)/(2) (1 + cos 2 theta) d theta

int cos^2 theta d theta = int (1)/(2) d theta + int (cos 2 theta)/(2) d theta

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer!! 😉

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int cos c x d x = (sen c x)/(c) + C

int k d x = k x + C

Então ficamos com:

int (1)/(2) d theta + int (cos 2 theta)/(2) d theta = int (1)/(2) d theta + (1)/(2) int cos 2 theta d theta

= (1)/(2) theta + (sen 2 theta)/(4) + C

Agora vamos voltar a expressão original:

int cos^2 theta d theta = int (1)/(2) d theta + int (cos 2 theta)/(2) d theta

= (1)/(2) theta + (sen 2 theta)/(4) + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida.

Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral.

Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_0^((pi)/(2)) cos^2 theta d theta = ((1)/(2) theta + (sen 2 theta)/(4))_0^((pi)/(2))

int_0^((pi)/(2)) cos^2 theta d theta = (1)/(2) . (pi)/(2) + (sen 2 (pi)/(2))/(4) - ((1)/(2) . 0 + (sen 2.0)/(4))

int_0^((pi)/(2)) cos^2 theta d theta = (pi)/(4) + 0 - (0 + 0)

int_0^((pi)/(2)) cos^2 theta d theta = (pi)/(4)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

int_0^((pi)/(2)) cos^2 theta d theta = (pi)/(4)

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