Calcule a integral.

∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral:

∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Mas antes de prosseguir com o cálculo, vamos fazer algumas manipulações na expressão:

∫ cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

∫ cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 d θ + ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer!! 😉

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ cos ⁡ c x d x = sen ⁡ c x c + C

∫ k d x = k x + C

Então ficamos com:

∫ 1 2 d θ + ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ 1 2 d θ + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ d θ

= 1 2 θ + sen ⁡ 2 θ 4 + C

Agora vamos voltar a expressão original:

∫ cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 d θ + ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= 1 2 θ + sen ⁡ 2 θ 4 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida.

Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral.

Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ = 1 2 θ + sen ⁡ 2 θ 4 0 π 2

∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ = 1 2 . π 2 + sen ⁡ 2 π 2 4 - 1 2 . 0 + sen ⁡ 2.0 4

∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ = π 4 + 0 - 0 + 0

∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ = π 4

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ = π 4

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