Seja I n = ∫ 0 π 2 sen n ⁡ x d x .Mostre que I 2 n + 2 ≤ I 2 n + 1 ≤ I 2 n .Use o Exercício 46 para mostrar que I 2 n + 2 I 2 n = 2 n + 1 2 n + 2 Utilize as partes (a) e (b) para mostrar que 2 n + 1 2 n + 2 ≤ I 2 n + 2 I 2 n ≤ 1 e deduza que lim n → ∞ ⁡ I 2 n + 2 I 2 n = 1 .Use a parte (c) e os Exercícios 45 e 46 para mostrar que lim n → ∞ ⁡ 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 … 2 n 2 n - 1 2 n 2 n + 1 = π 2 Essa fórmula geralmente é escrita como um produto infinito: π 2 = 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 … que é chamado produto de Wallis.Construímos retângulos como a seguir. Comece com um quadrado de área 1 e coloque retângulos de área1 alternadamente ao lado ou no topo do retângulo anterior (veja a figura). Encontre o limite da relação largura/altura desses retângulos.

Enunciado

Assim, pela segunda propriedade de comparação da integral,

Nós dividimos o resultado da parte (a) por . As inequações são preservadas desde que seja positivo:

Agora, pela parte (b), o termo esquerdo é igual a , então a expressão se torna

Agora, fazemos

Então, pelo Teorema de Squeeze, .

Nós substituímos os resultados dos Exercícios 46 e 47 no resultado da parte (c) e obtemos o seguinte:

Multiplicando os dois lados por , nos dá o produto de Wallis:

A área do retângulo é . No passo, a área cresce de para multiplicando a largura por , e o passo, a área é acrescida de para multiplicando a altura por . Esses dois passos multiplicam a proporção entre altura e largura por e respectivamente. Então, pela parte (d), a relação limitante é

Ei, a resposta está no passo a passo :)