1. Nós notamos que para , então

Assim, pela segunda propriedade de comparação da integral,

Passo 2

2. Substituindo diretamente no resultado do Exercício 46, nós temos que

Passo 3

3. Nós dividimos o resultado da parte (a) por . As inequações são preservadas desde que seja positivo:

Agora, pela parte (b), o termo esquerdo é igual a , então a expressão se torna

Agora, fazemos

Então, pelo Teorema de Squeeze, .

Parte 4

4. Nós substituímos os resultados dos Exercícios 46 e 47 no resultado da parte (c) e obtemos o seguinte:

Multiplicando os dois lados por , nos dá o produto de Wallis:

Parte 5

5. A área do retângulo é . No passo, a área cresce de para multiplicando a largura por , e o passo, a área é acrescida de para multiplicando a altura por . Esses dois passos multiplicam a proporção entre altura e largura por e respectivamente. Então, pela parte (d), a relação limitante é