Calcule a integral.

∫ 1 4 4 + 6 u u d u

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão pede pra gente encontrar a integral definida dada por:

∫ 1 4 4 + 6 u u d u

A ideia aqui é olhar para que função estamos integrando e, sempre que possível, tentar escrever essa função de uma forma mais simplificada para que possamos usar as regras de integração adequada.

Veja que a função que está sendo integrada é formada por uma divisão entre duas funções. Assim, podemos tentar fazer essa divisão termos a termo, e ver se ficaria melhor para integrar

Vamos ver isso acontecendo. Te mostro tudo no passo a passo.

Passo 2

Vamos reescrever assim primeiro:

∫ 1 4 4 + 6 u u d u = ∫ 1 4 4 u + 6 u u d u

Podemos escrever a raiz como uma potência de expoente fracionário, e termos:

∫ 1 4 4 u + 6 u d u

∫ 1 4 4 u - 1 2 + 6 u 1 2 ) d u

Vamos integrar cada termo, usando a regra de integração de polinômio. Lembrado que:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C         n ≠ - 1

Depois nós aplicamos os limites de integração, assim:

4 u 1 2 1 2 + 6 u 3 2 3 2 = 8 u + 4 u 3 4 1

Passo 3

E vamos substituir cada um dos limites de integração na função que acabamos de encontrar. Assim, ficamos com:

8 u + 4 u 3 4 1

Se torna:

8 4 + 4 64 -   8 1 + 4 1

E resolvendo a expressão, teremos:

8 2 + 4 8 - 8 - 4

16 + 32 - 8 - 4

Assim, podemos dizer que:

∫ 1 4 4 + 6 u u d u = 36

Prontinho😉

Resposta

∫ 1 4 4 + 6 u u d u = 36

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