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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.4 - Ex. 30

Calcule a integral.

int_0^4 ( 3 sqrt(t) - 2 e^t ) d t

Passo 1

Opa, temos que calcular a seguinte integral:

int_0^4 ( 3 sqrt(t) - 2 e^t ) d t

Lembrando que:

sqrt(x) = x^(1 // 2)

Então:

int_0^4 ( 3 t^((1)/(2)) - 2 e^t ) d t

Além disso precisamos lembrar que para integrar um polinômio fazemos:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

E uma exponencial:

int e^x d x = e^x + C

Ahh, como temos que resolver uma integral definida a gente não usa a constante de integração! Beleza?!

Passo 2

Agora a gente aplica cada regra em um termo:

int_0^4 ( 3 t^((1)/(2)) - 2 e^t ) d t = (3 (t^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) + 2 e^t|_0^4 = (3 (t^((2)/(3)))/((3)/(2)) + 2 e^t|_0^4

= (2 t^((2)/(3)) + 2 e^t|_0^4 = 2 sqrt(t^3) + (2 e^t|_0^4

Vamos aplicar os limites agora, lembrando que pelo Teorema Fundamental do Cálculo, nós aplicamos o maior e diminuímos pelo resultado do menor:

2 sqrt(4^3) - 2 e^4 - [2 sqrt(0^3) - 2 e^0]

16 - 2 e^4 + 2

18 - 2 e^4

Prontinho😉

Resposta

int_0^4 (3 sqrt(t) - 2 e^t) d t = 18 - 2 e^4

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