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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 32

Calcule a integral :

int_1^4 (sqrt(y) - y)/(y^2) d y

Passo 1

Primeiramente, podemos desmembrar o integrando a fim de termos uma melhor visualização:

int (sqrt(y) - y)/(y^2) d y = int (sqrt(y))/(y^2) d y - int (y)/(y^2) d y

Simplificando podemos escrever:

int y^(- (3)/(2)) d y - int (1)/(y) d y

Passo 2

Feito o passo 1, percebemos que o primeiro integrando é do tipo y^n , e o segundo é do tipo (1)/(y) . Identicadas as integrais, sabemos que:

int y^n d y = (y^(n + 1))/(n + 1) + C

E

int (1)/(y) d y = ln |y| + C

Passo 3

Calculando enfim as integrais temos:

int y^(- (3)/(2)) d y - int (1)/(y) d y = (y^(- (1)/(2)))/(( - (1)/(2) )) - ln |y| + C

Simplificando obtemos:

- (2)/(sqrt(y)) - ln |y| + C

Passo 4

Aplicando os limites de integração, temos:

(- (2)/(sqrt(4)) - ln |4|) - (- (2)/(sqrt(1)) - ln |1|) = - 1 - l n 4 + 2 = 1 - l n 4

Resposta

O resultado da integral é 1 - l n 4 .

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