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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 28

Calcule

int_0^1 (x + 1)^2 d x

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

int_0^1 (x + 1)^2 d x = int_0^1 (x^2 + 2 x + 1) d x = int_0^1 x^2 d x + int_0^1 2 x d x + int_0^1 d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int x^2 d x , n = 2

int x^2 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^(2 + 1))/(2 + 1) = (x^3)/(3)

Para int 2 x d x = 2 int x^1 d x , n = 1

2 int x^1 d x = 2 (x^(n + 1))/(n + 1) = 2 (x^((1) + 1))/(1 + 1) = 2 (x^2)/(2) = x^2

Para int d x = int x^0 d x , n = 0

int x^0 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((0) + 1))/(0 + 1) = (x^1)/(1) = x

int_0^1 (x - 3)^2 d x = [(x^3)/(3) + x^2 + x]

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: [(x^3)/(3) + x^2 + x] (1)/(0) =

= ((1^3)/(3) + (1)^2 + (1) - ((0^3)/(3) - (0)^2 + (0))) = ((1)/(3) + 2) = ((1 + 6)/(3)) = (7)/(3)

Resposta

int_0^1 (x + 1)^2 d x = (7)/(3)

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