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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 23

Calcule

int_(- 1)^1 (x^7 + x^3 + x) d x

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

int_(- 1)^1 (x^7 + x^3 + x) d x = int_(- 1)^1 x^7 d x + int_(- 1)^1 x^3 d x + int_(- 1)^1 x d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int x^7 d x , n = 7

int x^7 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((7) + 1))/(7 + 1) = (x^8)/(8)

Para int x^3 d x , n = 3

int x^3 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((3) + 1))/(3 + 1) = (x^4)/(4)

Para int x d x = int x^1 d x , n = 1

int x d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((1) + 1))/(1 + 1) = (x^2)/(2)

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: [(x^8)/(8) + (x^4)/(4) + (x^2)/(2)] (1)/(- 1) =

= ((1)/(8) + (1)/(4) + (1)/(2) - (((- 1)^8)/(8) + ((- 1)^4)/(4) + ((- 1)^2)/(2))) = ((1 + 2 + 4)/(8) - ((1)/(8) + (1)/(4) + (1)/(2))) =

((7)/(8) - ((7)/(8))) = 0

Resposta

int_(- 1)^1 (x^7 + x^3 + x) d x = 0

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