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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 16

Calcule

int_0^8 root(3)(x) d x

Passo 1

Podemos reescrever como sendo:

int_0^8 root(3)(x) d x = int_0^8 x^((1)/(3)) d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int x^((1)/(3)) d x , n = (1)/(3)

int x d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^(((1)/(3)) + 1))/(((1)/(3)) + 1) = (x^((4)/(3)))/((4)/(3)) = (3)/(4) x^((4)/(3))

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: int_0^8 root(3)(x) d x = [(3)/(4) x^((4)/(3))] (8)/(0) =

= (3)/(4) ((8)^((4)/(3)) - (0)^((4)/(3))) = (3)/(4) ((2^3)^((4)/(3))) = (3)/(4) (2^4) = (3)/(4) xx 16 = 3 xx 4 = 12

Resposta

int_0^8 root(3)(x) d x = 1 2

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