Encontre o valor exato de cada expressão.

  1. log_2(6) - log_2(15) + log_2(20)
  2. log_3(100) - log_3(18) - log_3(50)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o valor exato das expressões logarítmicas:

log 2 ⁡ 6 - log 2 ⁡ 15 + log 2 ⁡ 20

E

log 3 ⁡ 100 - log 3 ⁡ 18 - log 3 ⁡ 50

Pra isso, vamos usar as propriedades de logaritmo:

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando as propriedades do logaritmo na expressão do item (a):

log 2 ⁡ 6 - log 2 ⁡ 15 + log 2 ⁡ 20

Observe a propriedade 2 , no passo 1 , e repare que a subtração entre logaritmos significa que os números estavam incialmente divididos. Então, podemos escrever:

log 2 ⁡ 6 15 + log 2 ⁡ 20

A soma entre eles indica que eles estavam inicialmente sendo multiplicados:

log 2 ⁡ 6 15 ∙ 20

= log 2 ⁡ 8

Vamos lembrar que só podemos aplicar estas propriedades porque todos os termos estavam na base 2 .

Agora vamos usar a propriedade 3 :

Fazemos esse círculo e pronto. Bora tentar?

log 2 ⁡ 8 = x

2 x = 8

Fatorando 8 :

2 x = 2 ³

Ou seja,

x = 3

Passo 3

Para a letra (b) faremos a mesma coisa, usando a expressão:

log 3 ⁡ 100 - log 3 ⁡ 18 - log 3 ⁡ 50

Escrevendo essa subtração como um quociente:

= log 3 ⁡ 100 18 - log 3 ⁡ 50

E fazendo isso novamente:

log 3 ⁡ 100 18 50

Então, fazendo a divisão de frações:

log 3 ⁡ 100 18 ∙ 50

= log 3 ⁡ 1 9

Agora usando terceira propriedade e transformando isso em potência, temos:

log 3 ⁡ 1 9 = y

3 y = 1 9

Fatorando o 9 :

3 y = 1 3 ²

Isso é o mesmo que:

3 y = 3 - 2

Logo, temos:

y = - 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) 3 ;

b) - 2 .

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