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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 29

Calcule a integral.

int ln ( x + sqrt(x^2 - 1) ) d x

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos duas funções nessa integral sendo multiplicadas, por isso não podemos aplicar uma “integral pronta”, por isso que a gente usa a integral por partes!!

Para o valor de u , vamos ter

u = ln (x + sqrt(x^2 - 1))

Usando a regra da cadeia para a derivação, chamamos r = x + sqrt(x^2 - 1) , assim

(d)/(d r) ln ( r ) xx (d)/(d x) ( x + sqrt(x^2 - 1) )

(1)/(r) xx [(d)/(d x) x + (d)/(d x) sqrt(x^2 - 1)]

(1)/(r) xx [1 + (1)/(2 sqrt(x^2 - 1)) xx 2 x]

Substituimos os valores:

(1)/(x + sqrt(x^2 - 1)) xx [1 + (1)/(2 sqrt(x^2 - 1)) xx 2 x]

Agora simplificamos a equação, eliminando o 2:

(1)/(x + sqrt(x^2 - 1)) xx [1 + (x)/(sqrt(x^2 - 1))]

Tiramos o MMC da expressão entre colchetes:

(1)/(x + sqrt(x^2 - 1)) xx (sqrt(x^2 - 1) + x)/(sqrt(x^2 - 1))

(1)/(sqrt(x^2 - 1))

Assim, temos o nosso d u :

d u = (1)/(sqrt(x^2 - 1)) d x

O nosso d v é:

d v = d x

v = x

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

A fórmula da integral por partes é:

int u d v = u v - int v d u

Portanto:

int ln ( x + sqrt(x^2 - 1) ) d x = ln (x + sqrt(x^2 - 1)) xx x - int (x)/(sqrt(x^2 - 1)) d x

Calculando...

= ln (x + sqrt(x^2 - 1)) xx x - int (x)/(sqrt(x^2 - 1)) d x

Para (x)/(sqrt(x^2 - 1)) , fazemos uma substituição onde u = sqrt(x^2 - 1) e d u = (x)/(sqrt(x^2 - 1)) d x , logo

= ln (x + sqrt(x^2 - 1)) xx x - int (x)/(u) xx (1)/((x)/(sqrt(x^2 - 1))) d x

= ln (x + sqrt(x^2 - 1)) xx x - int (1)/(u) xx (1)/((1)/(sqrt(x^2 - 1))) d x

= ln (x + sqrt(x^2 - 1)) xx x - int (1)/(sqrt(x^2 - 1)) xx sqrt(x^2 - 1) d x

= ln (x + sqrt(x^2 - 1)) xx x - int 1 d u

= ln (x + sqrt(x^2 - 1)) xx x - u

int ln ( x + sqrt(x^2 - 1) ) d x = x ln (x + sqrt(x^2 - 1)) - sqrt(x^2 - 1) + C

Prontinho!!

Resposta

int ln ( x + sqrt(x^2 - 1) ) d x = x ln (x + sqrt(x^2 - 1)) - sqrt(x^2 - 1) + C

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